33、基于最弱前置条件的鲁棒性分析

基于最弱前置条件的鲁棒性分析

1. 抽象与上闭包算子

在对具体域进行抽象描述时，我们采用上闭包算子的方式。给定一个具体域 $C$，上闭包算子 $\rho : C \to C$ 具有单调性、幂等性和扩展性，即对于任意的 $x \in C$，都有 $x \leq_C \rho(x)$。这个算子的作用是将具体值映射到它们的抽象属性，也就是在抽象域中对具体值的最佳近似。

例如，在整数幂集 $\wp(\mathbb{Z})$ 上的符号算子 $\text{Sign} : \wp(\mathbb{Z}) \to \wp(\mathbb{Z})$，它将每个整数集合 $S$ 与其符号相关联：
- $\text{Sign}(\varnothing) = \text{“none”}$
- 若对于所有的 $n \in S$，都有 $n > 0$，则 $\text{Sign}(S) = +$
- $\text{Sign}({0}) = 0$
- 若对于所有的 $n \in S$，都有 $n < 0$，则 $\text{Sign}(S) = -$
- 否则，$\text{Sign}(S) = \text{“I don’t know”}$

同样地，我们可以定义奇偶算子 $\text{Par} : \wp(\mathbb{Z}) \to \wp(\mathbb{Z})$，它将每个整数集合与它的奇偶性相关联：
- $\text{Par}(\varnothing) = \text{“none”} = \varnothing$
- 若对于所有的 $n \in S$，$n$ 都是偶数，则 $\text{Par}(S) = \text{ev