12、有界反馈顶点集数的图同构问题

有界反馈顶点集数的图同构问题

在图论领域，图同构问题一直是一个重要且具有挑战性的研究方向。当图的反馈顶点集数有界时，我们可以通过一系列的方法和算法来解决图同构问题。本文将详细介绍相关的理论和算法，帮助大家理解和解决这一问题。

反馈顶点集数相关的图化简规则

为了更有效地解决图同构问题，我们需要对图进行化简。以下是一些化简规则：
1. 删除度至多为 1 的顶点 ：这类顶点对图的循环结构影响较小，删除它们不会改变图的反馈顶点集数的本质性质。
2. 删除包含至多一个循环的连通分量中的顶点 ：这种规则可以简化图的结构，同时保持图同构的性质。
3. 删除集合 S 中的顶点 ：集合 S 可以根据具体问题进行定义，删除其中的顶点有助于将问题简化。
4. 收缩度为 2 且不在集合 S 中的顶点 ：将这样的顶点替换为其前邻接点之间的边，虽然可能会产生多边和环，但能进一步简化图的结构。

这些化简规则的应用顺序不影响最终结果，即对于任意图 G 和集合 S，经过这些规则的穷举应用后，会得到一个特定的图 RS(G)，它是 V(G) 的一个子集上的图。

下面是对这些规则结果独立性的证明思路：
假设存在反例，即对于图 G 和集合 S，有两个最大的化简步骤序列 R1 和 R2 得到不同的结果。设 v1 和 v2 分别是 R1 和 R2 首先化简的顶点，G1 和 G2 是第一步化简后的结果。由于 LS(G1) < LS(G) 和 LS(G2) < LS(G)，根据我们对 G 的选择，R