13、图同构与反馈顶点集问题研究

图同构与反馈顶点集问题研究

1. 图同构与反馈顶点集数

在图论中，图同构问题是一个经典且重要的问题。对于具有有界反馈顶点集数的图，有相关算法来判定图的同构性。存在一个名为 IsomorphismFVS 的算法，其运行时间递归式为 (T (k) ≤(2k + 4k \log k)T (k - 1) + O(5^k k n^2))，最终得出其时间复杂度的界为 (O((2k + 4k \log k)^k k n^2))。该算法能够判定两个图 (G_1) 和 (G_2) 是否同构，并且它是一个固定参数可解（FPT）算法。

对于带颜色的图，以反馈顶点集的最小规模为参数，也有相应的 FPT 算法。虽然相关引理最初是针对无颜色图表述的，但它能保证算法为任何同构找到对应的集合 (F_P)，并且后续的算法能确保计算出的同构尊重图的颜色。

2. 反馈顶点集问题概述

在无向图中，反馈顶点集（FVS）是一个重要的概念。一个图 (G) 中的反馈顶点集 (F) 是指这样一组顶点，移除它们后图 (G) 变为无环图。寻找图的最小反馈顶点集是一个经典的 NP 完全问题，其历史可以追溯到 20 世纪 60 年代早期。多年来，人们尝试了多种算法方法来解决这个问题，包括近似算法、线性规划、局部搜索、多面体组合学和概率算法等。

该问题在操作系统的死锁恢复中有重要应用。在系统资源分配图中，死锁表现为图中的环，为了从死锁中恢复，需要移除一组顶点（即找到一个 FVS）来打破所有环。在实际的系统资源分配图中，最小 FVS 的规模 (k) 通常较小，这促使人们研究该问题的参数化版本，即 fvs 问题：给定一个图 (G) 和一个参数 (k)，要么在 (G) 中构造一个规模不超过 (k) 的