12、有界反馈顶点集数图的同构问题

有界反馈顶点集数图的同构问题

在图论领域，图的同构问题一直是一个重要且具有挑战性的研究方向。本文将聚焦于通过反馈顶点集数来参数化的图同构问题，深入探讨相关的算法和理论。

1. 反馈顶点集数与图同构问题概述

我们关注的是通过反馈顶点集数来参数化的图同构问题。为了解决这个问题，我们需要计算一个与第一个图的所有禁止结构（在本文中是反馈顶点集）相交的集合。在任何同构下，这个集合的像必须与第二个图的每个禁止结构（即每个循环）相交。为了有效地利用这一事实，我们选择第二个图中的最短循环。但由于一般情况下最短循环可能是对数大小的，我们需要进行一系列的约简操作来缩短循环。

2. 图的约简规则

约简规则对于解决图同构问题至关重要。以下是具体的约简规则：
1. 删除度至多为 1 的顶点 ：这类顶点对图的循环结构影响较小，删除它们不会增加反馈顶点集数。
2. 删除包含至多一个循环的连通分量中的顶点 ：这种操作可以简化图的结构，同时保持同构关系。
3. 删除包含在集合 S 中的顶点 ：集合 S 是我们指定的顶点集合，删除其中的顶点有助于后续的分析。
4. 收缩不在集合 S 中且度为 2 的顶点 ：将该顶点替换为其前邻居之间的边，这可能会创建多边和环。

下面是一个 mermaid 格式的流程图，展示了这些约简规则的应用流程：

graph LR
    A[开始] --> B{是否有度至多为 1 的顶