35、超越顶点覆盖：双覆盖参数化算法

超越顶点覆盖：双覆盖参数化算法

1. 引言

在处理图上的NP难问题时，参数化算法是一种非常有用的工具。其核心思想是，在实际应用中，通常不需要在一般图上解决问题，而是在具有某种结构的图上进行求解。可以使用结构参数k来描述这种结构，并设计在k有界时能以多项式时间运行的算法，特别是固定参数可处理（FPT）算法，即运行时间为$O(f(k)·poly(n))$的算法。

树宽有界的图上，许多NP难问题都存在FPT算法。但对于一些树宽无法解决的问题，就需要更强大的参数，顶点覆盖是目前最成功的参数之一。在顶点覆盖有界的图上，已经在FPT时间内解决了广泛的问题，如公平着色、公平连通划分、盒度、预着色扩展以及各种图布局问题（如不平衡度、割宽、失真度和带宽）。

然而，顶点覆盖的最大缺点是它的限制性很强，这严重限制了其实际应用价值。因此，本文引入了一个新的参数——双覆盖（twin - cover），它比顶点覆盖更具一般性，能够解决广泛的实际问题，甚至对一些在树宽有界的图上都难以解决的问题也能有效处理。

2. 图主题问题的FPT算法

2.1 图主题问题定义

输入：一个顶点着色的无向图G和一个颜色多重集M。
问题：是否存在G的一个连通子图H，使得H中出现的颜色多重集col(H)与M相同？

图主题问题在生物信息学中自然产生，特别是在代谢网络分析的背景下。即使在路径宽度为2的图、超级星图和其他非常受限的图类上，该问题仍然是NP难的。

2.2 算法证明

定理：在顶点覆盖数最多为k的图上，图主题问题可以在时间$O(2^{k + 2k} · (\sqrt{|V ||E|}))$