35、超越顶点覆盖：双覆盖参数化算法的新突破

超越顶点覆盖：双覆盖参数化算法的新突破

1. 引言

在处理图上的NP - 难问题时，参数化算法是一种非常有用的工具。对于那些即使在有界树宽图上也难以解决的问题，顶点覆盖常被用作一个强大的参数。然而，顶点覆盖的局限性在于，对其进行约束会严重限制可允许的图类，这大大降低了它在实际应用中的实用性。

本文的主要贡献是引入了一个名为双覆盖（twin - cover）的新参数。这个参数能够解决广泛的实际问题，其中一些问题即使在有界树宽的图上也很难解决。双覆盖的优势在于，它比顶点覆盖的限制要小得多，即使在稠密图上也能取得较低的值。

2. 图主题问题的FPT算法

图主题（Graph Motif）问题的定义如下：
- 输入 ：一个顶点着色的无向图G和一个颜色多重集M。
- 问题 ：是否存在G的一个连通子图H，使得H中出现的颜色多重集col(H)与M相同？

该问题在生物信息学，特别是代谢网络分析中自然出现。即使在路径宽度为2的图、超级星图等非常受限的图类中，它仍然是NP - 难的。

对于顶点覆盖数最多为k的图，图主题问题可以在时间$O(2^{k + 2^k} \cdot (\sqrt{|V||E|}))$内解决。具体步骤如下：
1. 在时间$O(1.2738^k + k|V|)$内找到一个顶点覆盖C。对于任何非覆盖顶点v，其类型$t(v) \subseteq C$等于它在G中的邻域。所有非覆盖顶点被划分为集合$T_c \subseteq 2^k$，每个集合包含相同类型的所有顶点。
2. 遍历C的所有$2^k$个子集$C’$