19、量子计算复杂度理论中的多项式方法与下界分析

量子计算复杂度理论中的多项式方法与下界分析

1. 量子复杂度相关定理

在量子计算中，有一些重要的定理与函数的复杂度相关。若(F)是对称布尔函数，那么(D(F) \in O(Q2(F)^2))。假设评估(F(X))的最佳确定性经典策略在最坏情况下需要对(X)的比特进行(T = D(F))次查询。定理表明，任何计算(F)的量子算法至少需要(T^{\frac{1}{6}})次查询；若(F)是对称的，则需要(\Omega(\sqrt{T}))次查询。这意味着对于全域函数，量子查询复杂度最多比经典查询复杂度有多项式级别的提升。

为了在黑盒模型中获得超多项式优势，需要考虑“部分函数”，即仅在({0, 1}^N)的子集上定义的函数。例如，Shor周期查找算法的黑盒版本仅需在编码周期函数的字符串(X)上工作，其经典有界误差查询复杂度为(\Theta(\sqrt{r}))（(r)为周期），而量子查询复杂度为(O(1))。Deutsch - Jozsa算法仅需在“常量”或“平衡”字符串(X)上工作，其经典精确查询复杂度为(\frac{N}{2} + 1)，而精确量子算法的查询复杂度为(1)。

2. 多项式方法

2.1 量子电路的振幅多项式性质

一个对字符串(X)总共查询(T)次的量子电路，其振幅是变量(X_1, X_2, \ldots, X_N)的(T)次多项式。若(T = 0)，振幅与变量无关，电路计算的是常量函数；(T)越大，电路能计算的函数越复杂。

设(N)是一个使用(m)个量子比特并对黑盒(O_X)进行(T)次查询的量子电路，则存在复值的(N)元多线性多项式(p_0, p_1, \ldots, p_{2^m - 1})，每个