17、量子搜索与计算复杂度

量子搜索与计算复杂度

1. 未知成功概率的搜索算法

在某些搜索和振幅放大算法中，通常需要知道参数 $\theta$ 的值来确定搜索迭代的次数 $k$，其中 $k \approx \frac{\pi}{4\theta}$。但当我们不知道 $\theta$ 的值时，可以采用以下方法实现不预先知道 $\theta$ 的情况下进行搜索。

当 $0 < \sin^2(\theta) < 1$ 时，振幅估计网络会产生如下状态：
$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{i\theta}|\frac{1}{2}\theta\rangle|\psi_+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|\widetilde{2\pi - 2\theta}\rangle|\psi_-\rangle$

随着量子振幅估计算法中参数 $M = 2^m$ 的增加，$|\frac{1}{2}\theta\rangle$ 和 $|\widetilde{2\pi - 2\theta}\rangle$ 会分别更好地逼近 $2\theta$ 和 $2\pi - 2\theta$，并且变得更加正交。当使用 $m$ 位控制寄存器进行特征值估计时，可以验证这两个估计值的内积满足：
$|\langle\widetilde{2\pi - 2\theta}|\frac{1}{2}\theta\rangle| \in O(\frac{1}{2^m\theta})$

若 $2^m \gg \frac{1}{\theta}$，则 $|\widetilde{2\pi - 2\theta}\rangle$ 和 $|\frac{1}{2}\theta\rangle$ 几乎正交。此时，如果