11、量子复杂度理论入门

量子复杂度理论入门

在信息处理领域，复杂度理论聚焦于解决问题所需的固有成本，成本以各类明确资源衡量。本文将探讨三个基础模型：计算复杂度、查询复杂度和通信复杂度，并揭示它们之间的紧密联系。

1. 计算复杂度

在计算复杂度场景中，输入被编码为二进制字符串，算法需通过一系列局部操作计算出对应输出。局部操作指涉及少量数据的变换，如对两三个比特或量子比特的操作。图灵机、电路、量子图灵机和量子电路都满足这一特性，这里我们采用电路模型展开讨论。

1.1 经典电路

经典电路的基本操作包括与（AND）、或（OR）和非（NOT）门。例如，计算两个比特奇偶性的最小经典电路由五个门组成，若将异或（EXCLUSIVE - OR）门作为基本操作，一个门就能完成计算。这表明计算复杂度对基本操作的选择十分敏感，简单问题的精确计算复杂度具有一定随意性。

当考虑大规模问题时，计算复杂度更具意义。如计算n个比特的奇偶性，使用异或门构建的树结构需要n - 1个门；若仅使用与、或、非门，则大约需要5(n - 1)个门。两种情况下门的数量都是O(n)，且可证明常数乘以n个门是必要的。

对于输入规模n，算法通常以电路族形式存在，每个电路Cn负责处理规模为n的输入实例。电路族需具备一致性，即能以有限方式指定。例如，计算n个比特奇偶性的电路族可描述为“输入规模为n时，Cn是以x₀, …, xₙ₋₁为叶子节点的异或门二叉树”。

下面来看几个具体问题：
- 素性测试 ：输入是n位二进制字符串表示的数x，若x为素数输出1，否则输出0。目前已知最小的统一电路族规模为O(n^c log log n)（c为常数