5、量子系统：从封闭演化到测量的全面解析

量子系统：从封闭演化到测量的全面解析

1. 封闭系统的时间演化

在量子世界里，物理系统的状态会随时间改变。一个系统的状态向量 $|\psi\rangle$ 实际上是时间的函数，可表示为 $|\psi(t)\rangle$。量子理论假定，封闭量子系统状态向量的演化是线性的。也就是说，若有固定变换 $U$，将 $|\psi_i\rangle$ 映射为 $U|\psi_i\rangle$，那么对于线性组合 $\sum_{i} \alpha_i|\psi_i\rangle$，有 $U(\sum_{i} \alpha_i|\psi_i\rangle) = \sum_{i} \alpha_iU|\psi_i\rangle$。

例如，若 $|0\rangle$ 演化为 $\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}|1\rangle$，$|1\rangle$ 演化为 $\frac{i}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle$，那么 $\alpha_0|0\rangle + \alpha_1|1\rangle$ 就会演化为：
[
\begin{align }
&\alpha_0(\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}|1\rangle) + \alpha_1(\frac{i}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle)\
=&\frac{\alpha_0 + i\alpha_1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \fr