8、工程中的微分方程近似求解：加权残值法详解

工程中的微分方程近似求解：加权残值法详解

1. 结构与热传导中的微分方程特性

在结构力学中，梁的挠度分析常涉及二阶或三阶导数存在跳跃的解析解。当常微分方程（ODE）为齐次（$f(x) \equiv 0$）时，通过重复积分可得到三次多项式的解析解。通常，单位长度的横向力以二次多项式输入，这使得解为五次多项式。因此，在等几何分析（IGA）研究中，使用三次或五次B样条多项式作为梁长度上的分析函数是合理的。为允许二阶或三阶导数跳跃，需在这些点引入所需数量的重复节点，同时确保一阶和二阶导数在这些节点处连续。

在热传导中，点热源在二阶常微分方程的定义域内出现是常见的，这要求在这些点处斜率不连续，并在IGA节点向量中对应重复内部节点。

2. 偏微分方程的边界条件

对于偶数阶偏微分方程（PDE）：$\frac{\partial^{2m}u}{\partial x^{2m}} + \cdots + \frac{\partial u}{\partial x} + g(x)u + q(x) = 0$，其边界条件分为本质边界条件（EBCs）和非本质边界条件（NBCs）。
本质边界条件为：$u, \frac{\partial u}{\partial n}, \cdots, \frac{\partial^{(m - 1)}u}{\partial n^{(m - 1)}}$；
非本质边界条件为：$\frac{\partial^{(m)}u}{\partial n^{(m)}}, \frac{\partial^{(m + 1)}u}{\partial n^{(m + 1)}}, \cdots, \frac{\partial^{(2m - 1)}u}{\partial