17、变分方法与瑞利 - 里兹法详解

变分方法与瑞利 - 里兹法详解

在科学与工程领域，我们常常需要求解各种连续的积分或微分方程。以往，有限差分法和矩量法常被用于从这些连续方程生成数值算法，但它们在应用时往往缺乏严格性，也较少关注连续问题的假设条件。而变分方法为离散化过程提供了一个更通用的数学框架。

1. 离散化方法概述

离散化边界值问题的方法有多种，可大致分为处理一般问题的方法和处理变分问题的方法：
- 一般问题 ：
- 加权残值法
- 矩量法
- 边界元法
- 伽辽金法
- 最小二乘法
- 有限差分（FD）法
- 变分问题 ：
- 瑞利 - 里兹法
- 有限元法（FEM）

其中，加权残值法和有限差分法对问题的假设最少。不过，尽管可以使用经验方法或数值分析来评估特定边界值问题的解的准确性，但这两种方法通常不能保证数值解能很好地逼近精确解。

如果连续问题能转化为变分形式，那么可以使用瑞利 - 里兹法进行离散化。在这种情况下，数值分析文献中有许多定理和结果可以为解的准确性提供边界，并帮助我们理解该方法的数值行为。

2. 算子与泛函

理解变分方法需要一些关于函数空间、算子和泛函的背景知识。这里我们关注的是无限维线性空间，其元素为函数。

算子在这样的线性空间上，其定义域和值域都是函数空间，可表示为：
[Lu = f]
积分算子和微分算子都符合这个框架。例如，微分算子 (L = \nabla^2) 和卷积算子 (Lu = K * u)。有些“算子”实