4、等几何分析与有限元分析方法对比及相关概念解析

等几何分析与有限元分析方法对比及相关概念解析

1. 技术发展历程

随着阴极射线管的出现，网格可以交互式创建，但存在一定局限性。图形用户界面（GUIs）出现后，促使更用户友好的工具发展，进而推动了计算机辅助几何设计（CAGD）领域的发展，用于定义精确的工程形状。CAGD 又催生了非均匀有理 B 样条（NURBS），如今 NURBS 也用于等几何分析（IGA）。IGA 对分析细化能力的需求促使了 T 样条的发展，T 样条在计算机辅助几何设计（CADG）中创建几何形状方面也非常流行。

2. 连续性考虑

IGA 研究的一个显著优势是，分析基函数比有限元分析（FEA）的结果更容易获得更平滑的分段解（更高的连续性）。不过，IGA 仅使用控制点（CP）处的解值作为系统自由度来实现这一点。对于二阶以上的微分方程，可能需要指定解的斜率作为本质（狄利克雷）边界条件。由于 IGA 仅将解值作为 CP 自由度，这些本质条件必须进行近似处理。而一些 FEA 公式可以精确满足这些本质条件。

在 FEA 和 IGA 研究中，通常每个控制点的自由度数量是恒定的，这虽不是必需的，但会使最终系统矩阵中系统自由度编号的分配变得简单。

3. 无量纲参数坐标

3.1 常见参数坐标类型

大部分用于 FEA 分析几何的无量纲参数坐标系在 IGA 文献中也有应用，主要包括：
- 单位坐标 ：对于线、低阶三角形和低阶四面体，常用“单位坐标” 0 ≤ r, s, t ≤ 1。
- 自然坐标 ：对于线、四边形和六面体，常用“自然坐标” -1 ≤ a