27、等几何分析中的多项式与基函数解析

等几何分析中的多项式与基函数解析

1. 关键概念与操作

在等几何分析中，有几个关键的概念和操作需要理解。

• 节点插入 ：节点插入是在不改变曲线形状的前提下，向现有的节点向量中添加新节点的操作。这一操作在后续的基函数分解等过程中有着重要作用。
• 贝塞尔提取算子 ：对于非均匀有理B样条（NURBS）和T样条，贝塞尔平方提取算子矩阵 ( [CG] ) 能将它们的基函数分解为伯恩斯坦多项式。并且，贝塞尔提取算子独立于控制点及其基函数，对T样条和NURBS的作用方式相同。
• 拉格朗日提取算子 ：贝塞尔和拉格朗日提取算子会向NURBS或T样条网格中插入额外的节点，将 ( C^{p - 1} ) 连续的NURBS或T样条基函数分解为 ( C^0 ) 连续的多项式。每个分段 ( C^0 ) 的提取结果是原始 ( C^{p - 1} ) 分析结果的一个片段，且与有限元分析（FEA）的数据结构兼容。使用这些提取结果只需要在有限元代码中添加额外的形状函数例程。当光滑的 ( C^{p - 1} ) “iElement”基函数被简化为 ( C^0 ) 提取的伯恩斯坦多项式时，我们称其为“提取”或“iGe”，使用“iGet”只需要对FEA数据库结构进行小的扩展。贝塞尔分解本质上是一种节点插入操作，因此贝塞尔提取算子基于节点插入时由原始控制点形成新控制点的公式。

2. 伯恩斯坦多项式

伯恩斯坦多项式是构建B样条的基础。对于 ( p ) 次的 ( B_{j,p}(u) )，有 ( j = 1, 2, \cd