9、工程中的等几何分析与数值积分

工程中的等几何分析与数值积分

1. 加权残值法与等几何分析的拓展

在工程分析中，加权残值法是一种重要的求解方法。当引入等几何分析（IGA）对加权残值法（MWR）进行拓展时，会有一些变化，这些变化显著提升了加权残值法的能力。

在传统的加权残值法中，有全局空间近似项 (h_k(x)) 。而引入 IGA 后，全局空间近似 (h_k(x)) 会被一组分段空间基函数 (N_k(x)) 所取代。微分算子作用于这些基函数，用 (B_k(x)) 来表示，替代了原来的全局 (b_k(x)) 。另外一个重要的变化是，空间近似不需要预先满足本质边界条件。这意味着矩阵系统只需满足积分形式，在求解未知常数（和反力）之前，必须对其进行修改以包含本质边界条件。

常见的加权残值法有以下几种：
- 伽辽金加权残值法 ：(\int_{\Omega} \frac{\partial u(x)}{\partial D_k} R_{\Omega}(x) dx = 0_k)，其中 (1 \leq k \leq n)。
- 最小二乘加权残值法 ：(\int_{\Omega} \frac{\partial R_{\Omega}(x)}{\partial D_k} R_{\Omega}(x) dx = 0_k)，其中 (1 \leq k \leq n)。
- 等几何分析分段拓展 ：
- 区域 (\Omega) 可表示为非重叠子区域的并集，即 (\Omega = \cup_e \Omega_e)。
- 在子区域 (\Omega_e \subset \Omega) 内，(u