4、等几何分析与有限元分析方法对比解析

等几何分析与有限元分析方法对比解析

1. 技术发展背景

随着阴极射线管的出现，网格可以交互式创建，但存在一定局限性。图形用户界面（GUI）出现后，对开发更用户友好工具的需求催生了计算机辅助几何设计（CAGD）领域，用于定义精确的工程形状。CAGD 进而推动了非均匀有理 B 样条（NURBS）的发展，如今 NURBS 也应用于等几何分析（IGA）中。IGA 对分析细化能力的需求促使了 T 样条的发展，T 样条在计算机辅助几何设计（CADG）的几何创建中也非常流行。

2. 连续性考量

IGA 研究的一个显著优势是，其分析基函数比有限元分析（FEA）结果更容易获得更平滑的分段解（更高的连续性）。不过，IGA 仅使用控制点（CP）处的解值作为系统自由度来实现这一点。对于二阶以上的微分方程，可能需要指定解的斜率作为本质（狄利克雷）边界条件。由于 IGA 仅将解值作为 CP 自由度，这些本质条件必须进行近似处理。而一些 FEA 公式可以精确满足这些本质条件。

在 FEA 和 IGA 研究中，通常每个控制点具有恒定数量的自由度。这虽不是硬性要求，但能使最终系统矩阵中系统自由度编号的分配变得简单。

3. 无量纲参数坐标

FEA 分析几何文献中使用的大多数无量纲参数坐标系也出现在 IGA 文献中，常见的参数坐标如下：
- 单位坐标 ：对于线、低阶三角形和低阶四面体，最常用的是“单位坐标” 0 ≤ r, s, t ≤ 1。
- 自然坐标 ：对于线、四边形和六面体，常用的是“自然坐标” -1 ≤ a, b, c ≤ 1 以及单位坐标，二者关