41、量子力学中的代数方法与玻姆诠释

量子力学中的代数方法与玻姆诠释

1. 辛克利福德（海森堡）代数的问题与解决

在处理辛克利福德（海森堡）代数时，我们遇到了一个问题。海森堡代数是幂零的，这意味着该代数中不包含任何幂等元。不过，这并非无法克服的问题，我们可以对代数进行扩展。狄拉克早在1947年就预见到了这种扩展的必要性，他引入了标准右矢和标准左矢的概念，实际上就是给海森堡代数添加了一个幂等元。

狄拉克将普通右矢提升到代数中，把 | ⟩ 替换为 ⟩，称其为标准右矢，这样就能符号化地构造代数中的左理想，因为右乘没有意义。同理，他把 ⟨| 替换为 ⟨ 来生成右理想。将标准右矢和标准左矢放在一起，就引入了一个幂等元 ε，满足 ε² = ε。

我们可以得到：
ρ = |ψ⟩⟨ψ| =⇒ˆψ⟩⟨ˆψ =⇒ˆAε ˆB = ˆψL ˆψR (16.42)
其中 ˆψL = ˆAε 是左理想的一个元素，相当于波函数的算符；ˆψR = ε ˆB 是右理想的一个元素，相当于共轭波函数的算符。左理想 ˆψL 也被称为代数辛旋量，右理想 ˆψR 被称为对偶辛旋量，这些对象与表示无关。

在这种方法中，海森堡运动方程被两个算符薛定谔方程所取代：
i∂ˆψL / ∂t = ˆH ˆψL
−i∂ˆψR / ∂t = ˆψR ˆH (16.43)
需要强调的是，这些方程与表示无关。

2. 从算符薛定谔方程得到的结果

对上述两个算符薛定谔方程作差，我们得到：
i∂ˆρ / ∂t + [ˆρ, ˆH]− = 0 (16.44)
这就是用算符表示的刘维尔方程，可看作是描述过程振幅随时间演化的方程。

将两个