13、MATLAB 线性方程与函数 M 文件的深入探究

MATLAB 线性方程与函数 M 文件的深入探究

1. 线性方程相关内容

1.1 病态条件

在处理方程组时，有时方程的系数是实验结果，可能存在误差。我们需要了解解对这些实验误差的敏感程度。例如，对于方程组：
[
\begin{cases}
10x + 7y + 8z + 7w = 32 \
7x + 5y + 6z + 5w = 23 \
8x + 6y + 10z + 9w = 33 \
7x + 5y + 9z + 10w = 31
\end{cases}
]
使用矩阵左除运算可以得出解为 (x = y = z = w = 1)，并且残差恰好为零。然而，若将右侧常数改为 32.1、22.9、32.9 和 31.1，新的“解”变为 (x = 6)，(y = -7.2)，(z = 2.9)，(w = -0.1)，残差仍然很小。

像这样的系统被称为病态系统，即系数的微小变化会导致解的巨大变化。MATLAB 中的 rcond 函数可返回条件估计值，用于检测病态条件。若系数矩阵为 (A)，当 (A) 病态时， rcond(A) 接近零；当 (A) 良态时， rcond(A) 接近 1。在此例中，条件估计值约为 (2\times10^{-4})，非常接近零。

部分作者提出一个经验法则：若矩阵的行列式相较于矩阵元素的值较小，则该矩阵为病态矩阵。在此例中，矩阵 (A) 的行列式为 1（可使用 det 函数验证），比矩阵的大多数元素小一个数量级。