21、势函数与流场可视化：原理、应用与MATLAB实现

势函数与流场可视化：原理、应用与MATLAB实现

1. 势函数与流场可视化基础

势函数和流函数是用于计算和可视化二维流场的强大数学工具，虽无法直接观测，但在各类流体流动（如气体和液体的自由流动、多孔介质中的流动）以及电磁动力学等领域有广泛应用。

1.1 势函数定义

势函数 $\phi$ 可通过其梯度导出流场。对于稳定不可压缩流体，连续性方程 $\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$ 成立，由此可得势方程（拉普拉斯方程）：
- 二维情况：$\frac{\partial^2 \phi(x, y)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi(x, y)}{\partial y^2} = 0$
- 三维情况：$\frac{\partial^2 \phi(x, y, z)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi(x, y, z)}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi(x, y, z)}{\partial z^2} = 0$

在流体动力学中，势函数 $\phi$ 的物理单位是 $[m^3/s]$。通过势函数的梯度可得到通量或速度向量：$\mathbf{v} = \nabla \phi$。

1.2 常见势函数形式

• 一维平行流势函数 ：$\phi(x, y) = \phi_0 + \phi_x x + \phi_y y$
• 无限空间中的源和汇势函数 ：$\phi(x, y