32、数字多面体识别与噪声数字轮廓重建

数字多面体识别与噪声数字轮廓重建

1. 数字多面体识别

在数字多面体识别问题中，主要探讨了在特定维度下识别数字多面体的可判定性。

在三维空间里，对于数字多面体识别问题[Recognition(3, Pn, S)]的可判定性已得到证明。不过，这个结果相对较弱，所考虑的三种情况看似边缘，但实则不然，因为它们需要处理无限数量的不可约约束。通过利用其几何特性，能够在有限时间内做出判定。

在情况(2)和(2’)中，用两个半空间（分别来自 (K_{i}^{+1}) 和 (K_{j}^{-1})）排除 (T^{+}) 的所有异常值，等同于找到一对点 ((b_{i}, d_{i}) \in -K_{i}^{\prime +1}) 和 ((b_{j}, d_{j}) \in K_{j}^{\prime -1})，使得不存在整数 (x) 满足 (b_{j} - d_{j} \leq x \leq -b_{i} + d_{i})。在情况(2)中这是不可能的，因为存在一条对角线 (b - d = x \in Z)，且 (K_{j}^{\prime -1}) 在上方，(-K_{i}^{\prime +1}) 在下方；而在情况(2’)中是可能的，这种可能性由对角线方向的极值点决定，即 (\lceil max_{j}^{+} \rceil) 和 (-max_{i}^{+}) 的比较结果。

在情况(3)和(3’)中，尝试用来自集合 (K_{i}^{+1})、(K_{j}^{-1}) 和 (K_{j’}^{-1}) 的三个约束条件排除 (T^{-}) 和 (T^{+}) 的所有异常值。可以计算由 (K_{j}^{\prime -1}) 和 (K_{j’}^{\prime -1}) 的极值点确定