92、差分约束下的采样式运动规划

差分约束下的采样式运动规划

1. 可达性图与分辨率完备性

可达性图在运动规划中起着关键作用，其目标是使其在可达集内最终变得稠密，同时确保对可达性图进行系统搜索。这里主要讨论正向可达性图，因为反向情况与之类似。

1.1 简单模型下的可达性图

假设：
1. (X = C = R^2)；
2. 状态表示为 (q = (x, y))；
3. (U = [−1, 1]^2)；
4. 状态转移方程为 (\dot{x} = u_1) 和 (\dot{y} = u_2)。

对 (U) 应用离散时间模型，设 (\epsilon_t = 1)，且 (U_d = {(-1, 0), (0, -1), (1, 0), (0, 1)})，这就得到了曼哈顿运动模型，会产生阶梯路径。从某个状态 (x_I) 出发，可达性图表示通过状态转移方程能得到的所有可能的单位步长阶梯路径集合。

若 (X_{free}) 是 (R^2) 的有界开子集，对于固定的 (\epsilon_t)，可达性图隐式定义了一定分辨率的网格。任务是找到一个动作序列，使系统在 (X_{free}) 内到达目标（或可达性图中接近目标的顶点）。可通过系统搜索来寻找这样的序列，如果搜索是系统的，就能正确判断可达性图是否编码了一个解。若无解，规划算法可按常数因子（如 2）减小 (\epsilon_t) 并再次进行系统搜索，直到找到解。若无解，算法理论上会一直运行（实际中通常会提前终止）。这种方法在分辨率完备性的意义上是可行的，尽管所有路径都用动作序列表示。

随着时间离散化的改进，阶梯路径可以任意接近某个解路径。一般来说，当 (\epsilon_t)