14、变系数修正KdV方程的孤子解

变系数修正KdV方程的孤子解

在研究变系数修正Korteweg - de Vries（MKdV）方程时，我们关注其不同类型的孤子解，包括暗孤子解和奇异孤子解。

1. 暗孤子解

首先，我们有如下方程：
(-X\left(x\frac{dW}{dt}-\frac{d(tWv)}{dt}\right)+l(t)X^{3}W + 2d(t)XW^{3}=0)
(2c(t)XW^{2}=0)

从方程 (10.20) 中，我们可以得到：
(X = \left[\frac{W^{2}(-d(t))6}{l(t)}\right]^{\frac{1}{2}})

将 (X) 的值代入方程 (10.20) 后，可得到速度 (v) 的表达式：
(v=\frac{2}{tW(t)}\int_{0}^{t}-d(t’)W^{3}(t’)dt’)

因此，变系数MKdV方程的暗孤子解可以表示为：
(g(x,t)=X\tanh(W(x - vt)))

以下是求解暗孤子解的步骤总结：
1. 根据给定方程得到 (X) 的表达式。
2. 将 (X) 代入方程求出 (v)。
3. 得出暗孤子解的表达式。

2. 奇异孤子解

奇异孤子可以描述为变系数MKdV方程的不稳定孤子解。对于孤波的假设方法，我们设：
(g(x,t)=\frac{X}{\sinh^{b}W(x - vt)})
其中 (\xi = W(x - vt))，(b>0)，(W) 被称为逆宽度，(X) 是孤子的振幅，(v) 是孤子的速度。