15、分布式线性二次控制详解

分布式线性二次控制详解

1. 相关定理及推论

• 猜想：推测在成本函数按特定形式定义时，定理3.2在对调参参数更宽松的假设下也成立，目前正在对此进行研究。
• 推论：
  • 推论3.1：矩阵$A - XP + NX \tilde{P}_2$是Hurwitz矩阵。
  • 推论3.2：对于所有$\alpha > 1/2$（$\alpha \in R$），$A - XP + \alpha NX \tilde{P}_2$是Hurwitz矩阵。并且当$\alpha = 0$时，系统$A - XP$也是稳定的。
• 条件3.1：对于所有$\alpha \in [0, 1/2]$（$\alpha \in R$），$A - XP + \alpha NX \tilde{P}_2$是Hurwitz矩阵。该条件定义了一类系统和LQR加权矩阵，用于扩展稳定的分布式控制器结构集合。验证此条件的有效性可通过对简单仿射参数依赖模型$\dot{x} = (A_0 + \alpha A_1)x$（其中$A_0 = A - XP$，$A_1 = NX \tilde{P}_2$，$0 \leq \alpha \leq 1/2$）进行稳定性测试，此测试可转化为一个LMI问题，用于寻找二次参数依赖的Lyapunov函数。

2. 分布式控制设计

考虑一组$N$个线性、相同且解耦的动态系统，其连续时间时不变状态方程为：
$\dot{x} j = Ax_j + Bu_j$，$x_j(0) = x {i0}$
其中$x_j(t) \in R