4、数值计算与线性代数基础

数值计算与线性代数基础

在数值计算和工程分析中，有许多关键的概念和技术对于解决实际问题至关重要。下面将介绍数值微分、误差分析、线性代数等方面的内容。

数值微分的步长选择

在数值微分中，前向差分和中心差分公式的最优步长选择是一个重要的问题。最优步长与机器精度 $\epsilon_{mach}$ 有关，前向差分公式的最优步长 $h_{opt,fwd}=\sqrt{\epsilon_{mach}}$，中心差分公式的最优步长 $h_{opt,ctr}=\sqrt[3]{\epsilon_{mach}}$。通常，前向差分和中心差分公式的最优步长值分别约为 $10^{-8}$ 和 $10^{-5}$。当步长大于这些值时，误差 $e_h$ 与步长 $h$ 曲线的斜率分别为 1 和 2，这分别对应于一阶精度 $O(h)$ 和二阶精度 $O(h^2)$。

误差分析

误差分析对于选择合适的数值方法来解决过程模拟问题非常重要。数值方法大致有三种工作方式：
1. 直接计算方式 ：例如通过截断泰勒级数近似计算 $e^2$ 或进行数值微分。
2. 迭代方式 ：如使用赫伦方法计算 $\sqrt{2}$。
3. 逐步递归方法 ：例如多次应用牛顿 - 柯特斯积分公式。

收敛性和稳定性

收敛性和稳定性是迭代和递归方法的重要性质。
- 收敛性 ：如果随着迭代次数 $i$ 的增加，数值误差 $E(i)$ 趋近于零，即数值解 $x(i)$ 趋近于真实解 $x^