线性代数基础理解

行列式：

行列式定义：

主要用于线性代数中，它是一个可以从方阵（即行数和列数相等的矩阵）形成的一个标量（即一个单一的数值）。

通常用对角线法进行计算，行列式用aij表示，i表示行，j表示列。

三阶行列式

顾名思义，有三行三列的行列式，

表示为：

通过对角线法，解释大概为下，

1. 对角线上的元素相乘，红色相加的和 减去 黄色相加的和。

几种特殊的行列式

n阶行列式

逆序

逆序是指在一个排列中，如果一个较大的数排在一个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。逆序的总数称为逆序数。

逆序的表示符号为N或者为τ（套）

怎么计算逆序？

1. 对于排列中的每一个元素，计算它后面有多少个比它小的元素。

2. 将这些计数相加，得到总的逆序数。

比如，N(1432) = 3，则N(1432) 为奇排列

N(4321)=6，则N(4321)为偶排列

对换

对排列中的任意两个元素进行交换（称为对换），会改变排列的奇偶性。即，奇排列经过一次对换变成偶排列，偶排列经过一次对换变成奇排列。

例如：

N(651243)=10，为偶排列，将5和1兑换，则N(615243)=9，就变为奇排列。

特殊n阶行列式

几种特殊的行列式需要区分

1.行列式某一行(列)全为0，则行列式为0

2.三角形行列式等于对角线元素的乘积

行列式的性质

1.行列式的转置等于行列式本身。

即把行列颠倒，行变为列，列变为行，他们的值不会变。

2.交换行列式的两行会导致行列式的值变为其原来的相反数。

交换行列式中的任意两行，会把行列式的奇偶性改变。

3.行列式两行(列)相等，则行列式为0

4.用k乘以行列式某一行的所有元素，等于用k乘以行列式 （k为变量）

5.如果行列式的某一行（或某一列）的所有元素都有公因子 k，那么这个公因子 k可以提取到行列式外面一次。

6.如果一个行列式的某一行（或某一列）是两个数之和，那么这个行列式可以表示为两个行列式的和。

7.将行列式的某一行(列)乘以一个数加到另一行(列)上，行列式的值保持不变。（常用）

代数余子式

余子式

首先选择一个元素，以元素为基准，忽略元素所在的行列，保留剩下的，就能得到余子式

例如，对于一个 3×3的矩阵 A：

代数余子式

给定一个 n×n 的矩阵 A，其第i行第j列的元素 aij 的代数余子式 Cij定义为：

          

其中，Mij是元素 aij 的余子式，即去掉矩阵 A的第i 行和第 j 列后得到的 (n−1)×(n−1）子矩阵的行列式。

怎么计算代数余子式：

可以用拉普拉斯展开定理进行计算

   行列式等于它的某一行元素与其代数余子式的乘积之和。

   行列式按第i 行展开的公式为：