37、平面 3 - 连通图同构的动态复杂度研究

平面 3 - 连通图同构的动态复杂度研究

1. 引言

图同构问题旨在寻找两个图顶点集之间的双射，使得邻接关系得以保留。目前，该问题尚未有优于亚指数（$2^{o(n)}$）时间的静态算法。不过，对于一些特殊情况，如平面 3 - 连通图，已有相关研究进展。本文主要探讨平面 3 - 连通图同构的动态复杂度，得出两个重要结论：
- 无向图的广度优先搜索（BFS）属于动态一阶逻辑（DynFO）。
- 平面 3 - 连通图的同构问题属于 DynFO +，DynFO + 与 DynFO 类似，但允许一定的多项式预计算，这在图达到 3 - 连通之前是必要的。

2. 预备知识

• 旋转与旋转方案 ：设 $E_v$ 为与顶点 $v$ 关联的边集，$E_v$ 上只有一个循环的置换 $\pi_v$ 称为旋转。图 $G$ 的旋转方案 $\pi$ 是一组旋转 ${\pi_v | v \in V, \pi_v$ 是 $E_v$ 上的旋转 $}$，$\pi_c$ 为其逆旋转集。对于 3 - 连通平面图，$\pi$ 通常为每个顶点的逆时针旋转集，$\pi_c$ 为顺时针旋转集。
• 定理 1 ：传递闭包不在一阶逻辑（FOL）中，即不在一致 $AC^0$ 中。
• 动态复杂度类 DynC 的定义 ：对于静态复杂度类 $C$，其动态版本 DynC 定义如下。设 $\rho = \langle R_1^{a_1}, \cdots, R_s^{a_s}, c_1, \cdots, c_t \rangle$ 为词汇表，$S \subset