38、平面3 - 连通图同构与柯西矩阵等的快速近似计算

平面3 - 连通图同构与柯西矩阵等的快速近似计算

平面3 - 连通图同构相关

在图论中，平面3 - 连通图的同构问题是一个重要的研究方向。对于图的操作，如边的插入和删除，有着特定的性质。

当插入边 ${a, b}$ 时，在所有的规范广度优先搜索（CBFS）树 $[a, ae]$ 和 $[b, be]$ 中，到任意顶点 $x$ 的路径不会改变。而对于删除操作，我们基于 $<c$ 关系从 $PR_{min}$ 中选择边。若删除的边 ${a, b}$ 不在 $[v, ve]$ 中到某个顶点 $x$ 的路径上，那么该路径不会改变，其他情况与一般情形类似。

在对3 - 连通平面图进行规范化和同构测试时，传统的深度优先搜索（DFS）或涉及计算传递闭包的方法无法使用，因为在一阶逻辑（FOL）中难以实现，且大多数已知的规范化方法似乎都需要计算传递闭包。

为了实现图的规范化，我们为每个顶点标记一个向量。对于CBFS树 $[v, ve]$ 中的顶点 $x$，其规范表示为 $Canon_{v,ve}(x)$，定义如下：
$Canon_{v,ve}(x) = {(l, h) : \exists q, qp, C \land L \land P \land H}$
其中：
- $C$：$CPath(v, ve, v, x, q)$
- $L$：$l = level_v(q)$
- $P$：$parent_{v,ve}(q, qp)$
- $H$：$h = emnum_{v,ve}(qp, q)$

有引理表明，对于任意CBFS树 $[v, ve]$ 中的任意两个顶点 $x$ 和 $y$，$x = y$