36、计数量词约束满足问题与平面图同构的动态复杂度

计数量词约束满足问题与平面图同构的动态复杂度

1. 计数量词约束满足问题

1.1 奇数情况的拓展

对于奇数 (n)，我们对相关概念进行拓展。定义 (\gamma’(v)) 时，使用与 (\gamma(v)) 相同的递归方式，但当 (v) 在 (\prec) 中是第一个时，令 (\gamma’(v) = \beta(v) - 1)。需要注意的是，(\gamma’(v) \geq \gamma(v))。

1.2 定理 9

当 (n \geq 5) 为奇数，假设 (P_{\infty} \models \Psi)，并且 (D_{\psi}) 的顶点被正确地染成黑色和白色，那么以下三个条件等价：
- (I) (P_n \models \Psi)。
- (II) Prover 在游戏 (G(\Psi, P_n)) 中有获胜策略。
- (III) 不存在顶点 (u) 和 (v)，使得 (\gamma’(u) \geq \frac{n - 1}{2}) 且 (\gamma’(v) \geq \frac{n - 1}{2})，同时 (u) 为黑色，(v) 为白色。

1.3 推论证明

1.3.1 推论 1

当 (H) 是森林时，要判定 ({1, 2}) - CSP((H))。设 (\Psi) 是该问题的一个实例，(G = D_{\psi}) 是对应的图。我们可以假设 (H) 是一棵树，因为 (G) 的连通分量必须映射到 (H) 的连通分量。如果 (\Psi) 是一个肯定实例，那么它也是 ({1, 2}) - CSP((P_{\infty})) 的肯定实例。这可以通过将定理