16、疑问依赖与探究性证明

疑问依赖与探究性证明

1. 可推导性与语义的桥梁

可推导性与语义之间的联系由支持引理给出。该引理表明，在典范模型的状态 $S$ 下的支持关系，等同于从 $S$ 中所有理论的交集 $\cap S$ 进行推导（其中 $\cap \varnothing$ 为所有公式的集合）。

支持引理

对于任意的 $S$ 和 $\phi$，有 $M^c, S \vDash \phi \Leftrightarrow \cap S \vdash \phi$。此引理的归纳证明在附录中给出。支持引理使我们能够利用典范模型为逻辑蕴含关系提供反例，进而证明完备性定理。

完备性定理

如果 $\varPhi \vDash \psi$，那么 $\varPhi \vdash \psi$。

2. 探究性证明的计算内容

我们通过一个例子来说明消解定理证明中描述的有效过程，并探讨该过程的意义。考虑有效蕴含关系 $p \leftrightarrow q \land r,?q \land?r \vDash?p$。设 $\varPhi = {p \leftrightarrow q \land r,?q \land?r}$，根据相关事实，该蕴含关系的有效性意味着 $\varPhi$ 的任何特定消解 $\varGamma$ 必然蕴含 $?p$ 的某个消解 $\alpha$。

证明示例

以下是在我们的演绎系统中 $\varPhi \vdash?p$ 的证明 $P$：

?q ∧?r
?q         (∧e)
?q