数据结构5——圆方树

我们知道很多树上的算法，但是在图上却难以实现，这个时候是不是就会想把图变成树呢？
这里介绍一个把无向图转化成树的方法，就是 圆方树。

1. 建树原理

（Tips : 若无需“导读”可以直接往下翻至1.4节）

1.1 缩点

我们不妨先回顾一下，我们有什么方法把一张任意的有向图变成有向无环图（DAG）的？
比较熟悉的方法就是tarjan缩点。
所以我们对于无向图，我们也先缩点——把点双连通分量缩在一起。
特别注意，我们要把只有一条边，只连接$2$个点的“伪点双”也要算进去。

1.2 建点

即使把点双缩起来了，我们得到的依然是一张无向图——那怎么把它统领成树呢？很容易想到就是对于这个缩好之后的点新建一个点，我们称之为方点。
那么对应的缩点前原图的点就称之为圆点。

1.3 重建

这时图就显得很杂乱了，为了保证这个树建出来有用，我们需要整理一下，具体方案如下：

1. 拆掉每个点双内部的所有边。
2. 将这个点双对应的方点向这个点双内的每一个圆点连一条边。

1.4 总结

简而言之，记原图点为圆点，建立圆方树就是找出每一个点双，然后建一个对应这个点双的方点，方点连向每一个点双内的圆点，删去每个点双内部圆点原有的连边。这样每一个点双就成为了一个树的形态，这样所有的都连起来也就是一颗树了。
（这里特别解释一下怎么“全部连起来”。实际上并不需要额外的操作。就是因为我们把只有$2$个点$1$条边的也算进去，因此相邻点双之间都会有公共点。然后两个点双就会是以“方点 ${}_1\to$ 公共点 $\to$ 方点 ${}_2$ ”的顺序自然连接。）

2. 性质

这个圆方树肯定有一些特别的性质嘛，不然要了干什么……

1. 对于任意无向图 G = { V , E } G=\{V , E\} G={ V,E}均满足建出来的是森林；
2. 对于任意连通无向图$G$均满足建出来的是一颗无根树；
3. 对于每一个圆点，都对应着有且仅有一个方点；
4. 对于任意一条路径，路径上的圆点和方点都是相间出现，或者说同种形状的点不相邻。
5. 原图的割点是圆方树中度数$>1$的圆点。

这些性质都是很显然的，无需过多证明。第$4$个性质是之前多次强调的$2$个点$1$条边的特殊点双保证的。

3. 实现

以上为理论部分，实现上还有一些细节需要注意的。

1. 点权$w_i$，一般在题目中我们会给每一个点赋予一个点权，然后根据圆方树的性质，操作这些点权。
2. 子树大小 s z i sz_i sz