动态规划4——从两题来看线头DP的基本应用

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因为准备中考的缘故，已经半年没有没有接触什么新算法了，博客也是六个月没更新过了。差不多要继续了。那么就开始正文的讨论了。

问题引入

线头DP？

我们见过许多类型的DP，包括序列上的、树或图上的；求最优解的、计数类的……但是这些DP无一例外要遵循一个原则——无后效性。
这个有一点点专业的名次常常在讲DP理论时提到，它简单来说就是前面所做出的的决定不能影响后面的答案。
于是，我们就见到了一些题目：从表面上看，他们在某一处做出的决策会直接影响后面的结果，但实际上，我们可以通过一些转换，让他们也能够用DP来解决。
——让我们先来看第一道题。

Problem A 摆花 ($1\text{s},256\text{kB}$)

（不同于NOIP2012普及组的那一题）

题目大意

• 给定 $n$ 盆花，可以任意方式排列成一个环。
• 对于第 $i$ 盆花，它有四个参数 $a_i,b_i,c_i,d_i$ 以及一个编号 $i$ 。
• 假设编号为 $i$ 的花所在位置的顺时针下一个位置摆的是编号为 $j$ 的花，且 $i<j$，则花 $i$ 的美观度为 $a_i+b_j$；
• 假设编号为 $i$ 的花所在位置的顺时针下一个位置摆的是编号为 $j$ 的花，且 $i>j$，则花 $i$ 的美观度为 $c_i+d_j$；
• 方案的美观度等于所有花的美观度之和，求重新排列后最大的美观度。
• $n\le 2000,a_i,b_i,c_i,d_i\le 10^5$.

解题思路

就算我事先告诉你这道题可以用DP解决，但是当初看这道题时，我们依然没有一个清晰的思路——当我们算出排到第$i$盆花的最优解之后，由于后面的编号未知（并且可能因为前面的决策被限定），我们没有办法直接推出它的美观度是多少，更没有办法转移。
那还有办法DP吗？

那我们就先尝试找一找这道题目的特性吧。
既然答案不能被左右两边影响，那么必然就要朝着把不同花各自贡献的那一部分整合到它自身的方向去思考。
比如，当按照顺序排列的时候，记每一朵花的美观度为$g(i)$，取$n=4$列表：

$g(1)$	$g(2)$	$g(3)$	$g(4)$
a 1 + b 2 a_1+b_2 a1​+b