戴德金--连续性和无理数--我自己做的中文翻译第12页

\quad\quad\quad\quad\quad原文第12页
\quad\quad\quad\quad\quad\quad七、无穷小分析
这里,在结尾之际,我们应该解释一下前面的那些探讨和无穷小分析理论之间的关系。
\quad\quad我们说一个无级变幅x通过连续确定数值靠近一个固定值α,就是指x最终会和α
共同处于某两个数之间,或者,x积累到与α共同位于这两数之间,此时|α−x|小于任意
事先给定的非零正数。
\quad\quad一个重要的定理是这样说的:如果一个变数x持续增长,但是不会超过所有的限
制,那么它必然趋近一个极限值(译注:这里应该是指确界原理,例如不超过所有上界,
则必有上确界;或者下确界)。
我用下面的方式来证明上述结论。假设存在一个α2,有x<α2,\quad\quad我用下面的方式来证明上述结论。假设存在一个α_{2},有x<α_{2},α2x<α2
则必然有无穷多个数α2,使得x始终<α2我把所有这样的α2划归于△2则必然有无穷多个数α_{2},使得x始终<α2我把所有这样的α_{2}划归于△_{2}α2使x<α2α22
系统;其他的数α1划归△1系统后者,即△1,其中的每个数字,都有这系统;其他的数α_{1}划归△_{1}系统后者,即△_{1},其中的每个数字,都有这α111
样的特性:在x的变化过程中,x最终会≥α1,这样每个α1都小于α2,则样的特性:在x的变化过程中,x最终会≥α_{1},这样每个α_{1}都小于α_{2},则xxα1,α1α2,
存在一个数α,它或者是△1中的最大数,或者是△2中的最小数;前者的存在一个数α,它或者是△_{1}中的最大数,或者是△_{2}中的最小数;前者的α,12
情况不可能出现,因为x一直在增长(译注:如果△1里有最小值a,根据情况不可能出现,因为x一直在增长(译注:如果△_{1}里有最小值a,根据x(1a
△1的定义,x最终会>a,则a显然不是最小值,另,这里的证明不适用于△_{1}的定义,x最终会>a,则a显然不是最小值,另,这里的证明不适用于1,x>a,a
lim(−1)nn,因为根据前述,该证明是在证明单向递增的情况),所以,α是lim\frac{(−1)^n}{n},因为根据前述,该证明是在证明单向递增的情况),所以,α是limn(1)n,)α
△2中的最小值。不管α1取何值,最终都有α1<x<α,即,x靠近α。△_{2}中的最小值。不管α_{1}取何值,最终都有α_{1}<x<α,即,x靠近α。2α1α1<x<α,xα
\quad\quad这个定理等价于连续性原则,即,一旦我们假设一个数字不在域R中;或者表述为,
如果这个定理正确,那么V中的定理IV也正确。
\quad\quad另一个分析无穷小的定理,与上述定理类似,也经常被用到,陈述如下:在x的
变化中,若对于每个事先给定的正数δ,我们都能找到一个与之对应的位置,从这个位置
之后,x的变动都会小于δ,那么x趋近一个极限值( 译注:应该是指柯西收敛准则)。
\quad\quad上面这个定理是下面这个很容易证明的定理的逆定理:如果一个变量趋近某个极
限,那么最终该变量的变化量会小于任何给定正数。这个逆原理可以从前面的定理轻松
导出,也可以从连续性定理导出。我下面就用连续性定理来导出。设δ是任意正数,则
根据假设,存在一个时间点,在其之后,x的变化量将小于δ,即:如果此时的x=a,则
a−δ<x<a+δ。现在,我暂时不用原始的假设,而是使用已经被刚刚证明的定理,即,所
有后续的x的值,都将位于事先给定的两数之间。为此,我对实数做两组分割。对于系
统△2,我指定一个数α2(例如,a+δ),在x的变化中,最终有x≤α2;统△_{2},我指定一个数α_{2}(例如,a+δ),在x的变化中,最终有x\leq\alpha_{2};2α2,a+δ,xxα2
对系统△1,我指定其包含除△2以外的全体其他数。如果α1是这样的数,对系统△_{1},我指定其包含除△_{2}以外的全体其他数。如果α_{1}是这样的数,12α1
那么不管这个过程进行了多久,都会发生无穷多次x>α1(译注:原文那么不管这个过程进行了多久,都会发生无穷多次x>α_{1}(译注:原文x>α1(
错写为α2,应为α1),既然每个α1<每个α2,−接下页错写为\alpha_{2} ,应为α_{1}),既然每个α_{1}<每个α_{2},-接下页α2α1),α1<α2,

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