戴德金--连续性和无理数--我自己做的中文翻译第12页

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#概率论 #线性代数 #算法

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$\quad\quad\quad\quad\quad$ 原文第12页
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad$ 七、无穷小分析
这里，在结尾之际，我们应该解释一下前面的那些探讨和无穷小分析理论之间的关系。
$\quad\quad$ 我们说一个无级变幅x通过连续确定数值靠近一个固定值α，就是指x最终会和α
共同处于某两个数之间，或者，x积累到与α共同位于这两数之间，此时|α−x|小于任意
事先给定的非零正数。
$\quad\quad$ 一个重要的定理是这样说的：如果一个变数x持续增长，但是不会超过所有的限
制，那么它必然趋近一个极限值(译注：这里应该是指确界原理，例如不超过所有上界，
则必有上确界；或者下确界)。
$我用下面的方式来证明上述结论。假设存在一个α2，有x<α2，\quad\quad我用下面的方式来证明上述结论。假设存在一个α_{2}，有x<α_{2}，$
$则必然有无穷多个数α_{2}，使得x始终<α2我把所有这样的α_{2}划归于△_{2}$
$系统；其他的数α_{1}划归△_{1}系统后者，即△_{1}，其中的每个数字，都有这$
$样的特性：在x的变化过程中，x最终会≥α_{1},这样每个α_{1}都小于α_{2},则$
$存在一个数α,它或者是△_{1}中的最大数，或者是△_{2}中的最小数；前者的$
$情况不可能出现，因为x一直在增长(译注：如果△_{1}里有最小值a，根据$
$_{1}的定义,x最终会>a,则a显然不是最小值，另，这里的证明不适用于$
$lim(−1)nn,因为根据前述，该证明是在证明单向递增的情况)，所以，α是lim\frac{(−1)^n}{n},因为根据前述，该证明是在证明单向递增的情况)，所以，α是$
$_{2}中的最小值。不管α_{1}取何值，最终都有α_{1}<x<α,即，x靠近α。$
$\quad\quad$ 这个定理等价于连续性原则，即，一旦我们假设一个数字不在域R中；或者表述为，
如果这个定理正确，那么V中的定理IV也正确。
$\quad\quad$ 另一个分析无穷小的定理，与上述定理类似，也经常被用到，陈述如下：在x的
变化中，若对于每个事先给定的正数δ,我们都能找到一个与之对应的位置，从这个位置
之后，x的变动都会小于δ,那么x趋近一个极限值（ 译注：应该是指柯西收敛准则）。
$\quad\quad$ 上面这个定理是下面这个很容易证明的定理的逆定理：如果一个变量趋近某个极
限，那么最终该变量的变化量会小于任何给定正数。这个逆原理可以从前面的定理轻松
导出，也可以从连续性定理导出。我下面就用连续性定理来导出。设δ是任意正数，则
根据假设，存在一个时间点，在其之后，x的变化量将小于δ，即：如果此时的x=a，则
a−δ<x<a+δ。现在，我暂时不用原始的假设，而是使用已经被刚刚证明的定理，即，所
有后续的x的值，都将位于事先给定的两数之间。为此，我对实数做两组分割。对于系
$统△2，我指定一个数α2（例如,a+δ）,在x的变化中，最终有x≤α2；统△_{2}，我指定一个数α_{2}（例如,a+δ）,在x的变化中，最终有x\leq\alpha_{2}；$
$对系统△_{1}，我指定其包含除△_{2}以外的全体其他数。如果α_{1}是这样的数，$
$那么不管这个过程进行了多久，都会发生无穷多次x>α_{1}(译注：原文$
$错写为α2，应为α1),既然每个α1<每个α2,−接下页错写为\alpha_{2} ，应为α_{1}),既然每个α_{1}<每个α_{2},-接下页$