§6.2 正则，正规，空间

§6.2　正则，正规，空间

　　本节重点：

　　掌握各空间的定义、充要条件及之间的联系．

　　我们先将点的邻域的定义推广到对于集合有效．

　　定义6.2.1　设X是一个拓扑空间，A，UX．如果A包含于U的内部，即A，则称集合U是集合A的一个邻域．如果U是A的一个邻域，并且还是一个开集（闭集），则称U是A的一个开（闭）邻域．

　　定义6.2.2　设X是一个拓扑空间．如果X中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各有一个开邻域，它们互不相交（即如果x∈X和AX是一个闭集，使得xA，则存在x的一个开邻域U和A的一个开邻域V使得)，则称拓扑空间X是一个正则空间．

　　定理6.2.1　设X是一个拓扑空间．则X是一个正则空间当且仅当对于任何点x∈X和x的任何一个开邻域U，存在x的一个开邻域V使得．

　　证明　必要性设X是一个正则空间．如果x∈X，集合U是x的一个开邻域，则U的补集便是一个不包含点x的闭集．于是x和分别有开邻域使得．从而，所以