用商空间做一些能够想象的拓扑空间:
对于集合X,在其上定义拓扑,定义等价关系在X/∼={xˉ∣x∈X}上定义拓扑,需满足X/∼中的开集在π−1映回去仍是X中开集。对于集合X,在其上定义拓扑,定义等价关系\\
在X/\sim=\{\bar x|x\in X\}上定义拓扑,\\需满足X/\sim中的开集在π^{-1}映回去仍是X中开集。对于集合X,在其上定义拓扑,定义等价关系在X/∼={xˉ∣x∈X}上定义拓扑,需满足X/∼中的开集在π−1映回去仍是X中开集。
n维的实摄影空间RPnRP^nRPn
在X=Rn+1/{0}中∼:x∼y⇔∃k∈R s.t. x=kyX/∼称为n维的实摄影空间RPn在X=R^{n+1}/ \{0\}中 \\
\sim:x\sim y\Leftrightarrow \exists k\in R \ \ s.t. \ \ x=ky \\
X/\sim 称为n维的实摄影空间RP^n在X=Rn+1/{0}中∼:x∼y⇔∃k∈R s.t. x=kyX/∼称为n维的实摄影空间RPn
其中的点记为[x1,x2,…,xn+1],代表(x1,x2,…,xn+1)的等价类其中的点记为[x_1,x_2,…,x_{n+1}],代表(x_1,x_2,…,x_{n+1})的等价类其中的点记为[x1,x2,…,xn+1],代表(x1,x2,…,xn+1)的等价类
[x1,x2,…,xn+1]∼[x1∣x1∣,x2∣x2∣,…,xn+1∣xn+1∣]在n+1维空间的n维标准球面上PS:一维的实摄影空间同胚于平面上的单位圆[x_1,x_2,…,x_{n+1}]\sim [\frac{x_1}{|x_1|},\frac{x_2}{|x_2|},…,\frac{x_{n+1}}{|x_{n+1}|}]在n+1维空间的n维标准球面上\\
\tiny PS:一维的实摄影空间同胚于平面上的单位圆[x1,x2,…,xn+1]∼[∣x1∣x1,∣x2∣x2,…,∣xn+1∣xn+1]在n+1维空间的n维标准球面上PS:一维的实摄影空间同胚于平面上的单位圆
RPn的令一种描述:RPn=Sn/∼其中x∼−xRP^n的令一种描述:RP^n=S^n/\sim其中x\sim -xRPn的令一种描述:RPn=Sn/∼其中x∼−x