用商空间做一些能够想象的拓扑空间:x=ky的n维的实摄影空间

用商空间做一些能够想象的拓扑空间:
对于集合X,在其上定义拓扑,定义等价关系在X/∼={xˉ∣x∈X}上定义拓扑,需满足X/∼中的开集在π−1映回去仍是X中开集。对于集合X,在其上定义拓扑,定义等价关系\\ 在X/\sim=\{\bar x|x\in X\}上定义拓扑,\\需满足X/\sim中的开集在π^{-1}映回去仍是X中开集。X,X/={xˉxX}X/π1X

在这里插入图片描述

n维的实摄影空间RPnRP^nRPn

在X=Rn+1/{0}中∼:x∼y⇔∃k∈R  s.t.  x=kyX/∼称为n维的实摄影空间RPn在X=R^{n+1}/ \{0\}中 \\ \sim:x\sim y\Leftrightarrow \exists k\in R \ \ s.t. \ \ x=ky \\ X/\sim 称为n维的实摄影空间RP^nX=Rn+1/{0}:xykR  s.t.  x=kyX/nRPn
其中的点记为[x1,x2,…,xn+1],代表(x1,x2,…,xn+1)的等价类其中的点记为[x_1,x_2,…,x_{n+1}],代表(x_1,x_2,…,x_{n+1})的等价类[x1,x2,xn+1],x1,x2,xn+1
[x1,x2,…,xn+1]∼[x1∣x1∣,x2∣x2∣,…,xn+1∣xn+1∣]在n+1维空间的n维标准球面上PS:一维的实摄影空间同胚于平面上的单位圆[x_1,x_2,…,x_{n+1}]\sim [\frac{x_1}{|x_1|},\frac{x_2}{|x_2|},…,\frac{x_{n+1}}{|x_{n+1}|}]在n+1维空间的n维标准球面上\\ \tiny PS:一维的实摄影空间同胚于平面上的单位圆[x1,x2,xn+1][x1x1,x2x2,xn+1xn+1]n+1nPS:
RPn的令一种描述:RPn=Sn/∼其中x∼−xRP^n的令一种描述:RP^n=S^n/\sim其中x\sim -xRPnRPn=Sn/xx

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