有限向量空间

Finite-Dimensional Vector Spaces

2.A Span and Linear Independence

1. span的定义
   span(v1,v2,⋯ ,vm)={a1v1+a2v2+⋯+amvm:a1,a2,⋯ ,am∈F}span(v_1,v_2,\cdots,v_m)=\{a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_mv_m:a_1,a_2,\cdots,a_m\in \bm{F}\}span(v1​,v2​,⋯,vm​)={a1​v1​+a2​v2​+⋯+am​vm​:a1​,a2​,⋯,am​∈F} 空列表()的span定义为{0}\{0\}{0}

2. 一个列表向量的span是包含这个些列表向量的子空间中最小的一个

   • 首先很容易证明 $span(v_1,v_2,\cdots ,v_m)$ 是一个子空间.

   • 由上一步子空间的证明可以得出，任何包含 $v_1,v_2,\cdots ,v_m$
     的子空间，都 包含$span(v_1,v_2,\cdots ,v_m)$

   • 每个 $v_j$ 包含在 $span(v_1,v_2,\cdots ,v_m)$里面

3. spans定义

   如果 $span(v_1,v_2,\cdots ,v_m)\equiv V$,
   那么就说$v_1,v_2,\cdots ,v_m$ spans $V$

4. polynomial $P(\mathbf{F})$,多项式定义

   • $a_0,a_1,\cdots ,a_m\in \mathbf{F}$
     $$p(z)=a_0+a_{1}z+a_2{z}^2+\cdots +a_m{z}^m$$ 所有 $z\in \mathbf{F}$

   • $P(\mathbf{F})$ 是系数为 $\mathbf{F}$的所有多项式

5. $P_m(\mathbf{F})$定义为

   • $P_m(\mathbf{F})=span(1,z,\cdots ,z^m)$

   也就是最高次数超过$m$的所有多项式集合

6. 线性相关引理

   如果 $v_1,v_2,\cdots ,v_m$
   线性相关.那么就一定存在j∈{1,2,⋯ ,m}j\in \{1,2,\cdots,m\}j∈{1,2,⋯,m} 满足:

   • $v_j\in span(v_1,v_2,\cdots ,v_{j-1})$

   • 如果 $j^{th}$ 从
     $v_1,v_2,\cdots ,v_m$移出,剩余的向量列表仍然等于$span(v_1,v_2,\cdots ,v_m)$.

   Proof

   • 从$a_1{v}_1+a_2{v}_2+\cdots +a_m{v}_m=0$中找到序号最大的一个 $v_j$ 使得
     $a_j̸=0$,也就是说$j$序号后面的$a_{j+1},\cdots ,a_m$都等于0。那么我们可容易得到
     $$v_j=\frac{a_1}{a_j}{v}_1+\cdots +\frac{a_{j-1}}{a_j}{v}_{j-1}$$

   • 对于任一 $u=a_1{v}_1+a_2{v}_2+\cdots +a_m{v}_m$,可以将上面的$v_j$
     替换为
     $\frac{a_1}{a_j}{v}_1+\cdots +\frac{a_{j-1}}{a_j}{v}_{j-1}$。也就是说
     $span(v_1,v_2,\cdots ,v_{j-1},v_{j+1},\cdots ,v_m)\equiv span(v_1,v_2,\cdots ,v_m)$

7. 向量空间$V$中所有非线性相关的向量组长度，小于所有可以spans向量空间$V$的向
   量组的长度

   • 重新重复下这个问题。如果 $v_1,v_2,\cdots ,v_m$
     是空间$V$中的非线性相关的 向量组, 而 $w_1,w_2,\cdots ,w_n$
     spans $V$.问题是证明 $m⩽n$

   • 每一次迭代按顺序吧 $v_i$ 加入到 $w_1,w_2,\cdots ,w_n$的头部.
     比如第一次 $$v_1,w_1,w_2,\cdots ,w_n$$ 这个向量组spans $V$

   • 从前面6点可以知道，可以从 $v_1,w_1,w_2,\cdots ,w_n$
     移出一个向量并且保持剩下的向量组 spans $V$.

   • 迭代这个步骤$m$次，且每一次删除一个
     $w_j$。需要指出的是，根据6点，每次一
     定是删除$w_j$，因为$v_1,v_2,\cdots ,v_{j-1}$
     是非线性相关，所以不会删除$v_j$.

   • 最后我们得出$m⩽n$

8. 有限空间的子空间，也是一个有限空间

   • 假如 $U$ 是有限空间 $V$ 的一个子空间。

   • 如果 U={0}U=\{0\}U={0} 那么 $U$ 是一个有限子空间。

   • 如果 U≠{0}U\neq \{0\}U̸​={0}, 那么存在 $v_j\in U,v_j̸=0$. 我们把$v_j$
     加入到列 表里面$(v_j)=K$.

   • 如果 $span(K)\equiv U$,那么$U$就是有限子空间.

   • 如果 $span(K)̸=U$, 那么一定可以找到 $v_k\in U$ 且 $v_k\notin span(K)$. 把 $v_k$ 加入到 $K$.

   • $K$ 最终会行成一个非线性相关的向量组 spans
     $U$。而$V$是有限空间。那么存在非线性相
     关的向量组spans$V$,$K$也是$V$中的非线性相关的向量组。根据上面7点，可以得出
     $K$的长度有限

2.B Bases

1. 如果$v_1,v_2,\cdots ,v_n$ 是 $V$ 的一组基的充要条件是每一个 $v\in V$
   有唯一 的表示形式 $$v=a_1{v}_1+a_2{v}_2+\cdots +v_n{v}_n$$

   • 证明第一个方向。如果 $v_1,v_2,\cdots ,v_n$ 是 $V$ 的基, 假设 $v$
     有两种表示形式
     $v=a_1{v}_1+a_2{v}_2+\cdots +a_n{v}_n,v=c_1{v}_1+c_2{v}_2+\cdots +c_n{v}_n$.
     $$0=(a_1-c_1)v_1+(a_2-c_2)v_2+\cdots +(a_n-c_n)v_n$$
     与原假设矛盾，也就是说 $v$只有一种表示形式

   • 证明第二个方向。如果$0=a_1{v}_1+a_2{v}_2+\cdots +a_n{v}_n$
     只有一个中表示形式。 那么自然
     $a_1=0,a_2=0,\cdots ,a_n=0$.因为如果$a_j̸=0$,$0=a_1{v}_1+a_2{v}_2+\cdots +a_n{v}_n$
     将会有另外一个表示形式（$a\to -a_j$就额可以表示出另外的0形式）与假设矛盾。

2. 如果列表$v_1,v_2,\cdots ,v_n$ spans $V$ 那么，可以把
   $v_1,v_2,\cdots ,v_n$ 可以减少一部分向量，而组成一个$V$的基。 space.

   • 如果 $v_1,v_2,\cdots ,v_n$ spans $V$

   • 如果 $v_j=0$, 移除

   • 如果 $v_i\in span(v_1,v_2,\cdots ,v_{j-1})$, 移除

   • 经过$n$步，就可以产生$V$的一个基

3. 空间$V$中的任一一组非线性相关的向量组均可以扩展为$V$的一组基

   • 重复这个说明: 如果 $u_1,u_2,\cdots ,u_m$ 是 $V$
     上的非线性相关向量组, 那 么可以把它扩展为 $V$的一组基。

   • 令 $w_1,w_2,\cdots ,w_n$ 是 $V$的一组基,那么
     $$u_1,u_2,\cdots ,u_m,w_1,w_2,\cdots ,w_n$$ 一定 spans $V$

   • 应用2的方法可以得到 $V$
     的一组基，而且这组基包含$u_1,u_2,\cdots ,u_m$

4. 如果 $U$ 是 $V$ 的子空间.那么一定存在 $W$ 是 $V$ 的子空间，使得
   $V=U\oplus W$.

   • 让 $u_1,u_2,\cdots ,u_m$ 是 $U$ 的一组基, 使用3可以扩展出
     $u_1,u_2,\cdots ,u_m,w_1,w_2,\cdots ,w_n$ 来做 $V$，其中令
     $W=span(w_1,w_2,\cdots ,w_n)$。问题变为如何证明 $V=U\oplus W$

   • 从上面的定义中，可以得出$V=U+W$

   • 很容易证明 U∩W={0}U\cap W=\{0\}U∩W={0}.因为，如果
     $v\in U,v\in W,v̸=0$，与我们的
     假设$v_i,w_i$非线性相关矛盾。进而得出$V=U\oplus W$

2.C Dimension

1. 有限空间中的任意两组基的向量个数相等

   • 令 $v_1,v_2,\cdots ,v_m$ 和 $w_1,w_2,\cdots ,w_n$ 是 $V$ 的两组基

   • 由此可得 $v_1,\cdots ,v_m$ spans $V$, $w_1,\cdots ,w_n$ spans $V$

   • 由前面的结论，非线性相关的向量组个数 $⩽$
     spans空间的向量组列表长 度。也就是说
     $m⩽n,n⩽m\Rightarrow m=n$

2. $U$ 是 $V$的子空间, 那么 $dimU⩽dimV$

3. 长度为 $dim(V)$的非线性相关的向量组, 是$V$的一组基

   • 任何的一组非线性相关的向量组都可以扩展为 $V$ 的一组基。

   • $V$ 的每一组基都有相同的个数 $n$。

4. 任何一组向量 spans $V$ 且个数为 $dim(V)$, 那这组向量就是 $V$ 的基。

   • 任何一组可以 spans $V$ 的向量组可以减少为 $V$ 的一组基.

   • 而且，任何 $V$ 的一组基含有相同的长度。

5. $dim(U_1+U_2)=dim(U_1)+dim(U_2)-dim(U_1\cap U_2)$

   • 令 $m_1,m_2,\cdots ,m_k$ 是 $U_1\cap U_2$ 的一组基

   • 把 $m_1,m_2,\cdots ,m_k$ 扩展为
     $m_1,m_2,\cdots ,m_k,v_1,v_2,\cdots ,v_z$ 是 $U_1$的一组基。

   • 把 $m_1,m_2,\cdots ,m_k$ 扩展为
     $m_1,m_2,\cdots ,m_k,w_1,w_2,\cdots ,w_s$ 是 $U_2$ 的一组基。

   • 然后 $dim(U_1)=k+z,dim(U_2)=k+s$

   • 然后，问题变成。我们证明
     $m_1,\cdots ,m_k,v_1,\cdots ,v_z,w_1,\cdots ,w_s$
     是非线性相关而且spans $U_1+U_2$ 也就是说 $dim(U_1+U_2)=k+z+s$

   • 分析 $0$ 向量
     $$a_1{m}_1+\cdots +a_k{m}_k+b_1{v}_1+\cdots +b_z{v}_z+c_1{w}_1+\cdots +c_s{w}_s=0$$
     $$a_1{m}_1+\cdots +a_k{m}_k+b_1{v}_1+\cdots +b_z{v}_z=-(c_1{w}_1+\cdots +c_s{w}_s)$$
     也就是说 $a_1{m}_1+\cdots +a_k{m}_k+b_1{v}_1+\cdots +b_z{v}_z\in U_1,c_1{w}_1+\cdots +c_s{w}_s\in U_2$

   • $U_1\cap U_2\subseteq h_1{m}_1+h_2{m}_2+\cdots +h_k{m}_k$
     $$a_1{m}_1+\cdots +a_k{m}_k+b_1{v}_1+\cdots +b_z{v}_z=h_1{m}_1+h_2{m}_2+\cdots +h_k{m}_k$$
     $$b_1{v}_1+\cdots +b_z{v}_z=d_1{m}_1+d_2{m}_2+\cdots +d_k{m}_k$$

   • 有定义可知 $m_1,m_2,\cdots ,m_k,v_1,v_2,\cdots ,v_z$
     是非线性相关的。那么 我们可以得出
     $d_1,d_2,\cdots ,d_k,b_1,b_2,\cdots ,b_z,a_1,a_2,\cdots ,a_k,c_1,c_2,\cdots ,c_s$
     都是0，那么 $m_1,\cdots ,m_k,v_1,\cdots ,v_z,w_1,\cdots ,w_s$
     是非线性相关的向量组.