17、无三角形外平面 3 - 图与成对兼容图的研究

无三角形外平面 3 - 图与成对兼容图的研究

1. 成对兼容树的构建

在图论中，对于特定类型的图构建成对兼容树是一个重要的问题。设 (G_i = C_1 ∪ C_2 ∪ \cdots ∪ C_i)，我们可以通过合并毛毛虫树 (T_1) 和 (T_2) 得到 (G_2) 的成对兼容树 (T’ 2)。假设已经合并了 (T_1, T_2, \cdots, T_j) 并得到了图 (G_j = C_1 ∪ C_2 ∪ \cdots ∪ C_j) 的成对兼容树 (T’_j)（(2 ≤ j < l)），现在要通过将 (T {j + 1}) 合并到 (T’ j) 来得到图 (G {j + 1} = G_j ∪ C_{j + 1}) 的成对兼容树 (T’ {j + 1})。由于 (G_j) 中的循环 (C_j) 和 (C {j + 1}) 恰好有一条公共边，所以可以使用类似于引理 3 证明中的技术来合并 (T’ j) 和 (T {j + 1}) 得到 (T’_{j + 1})。基于定理 3 的证明，可以构造一个线性时间算法来构建梯形图的外细分的成对兼容树。

2. 无三角形外平面 3 - 图是成对兼容图

2.1 无三角形双连通外平面 3 - 图

引理 4 表明，每个无三角形双连通外平面 3 - 图都是成对兼容图。证明过程如下：
设 (G) 是一个双连通外平面 3 - 图，(G’) 是 (G) 的弱对偶图，(G’) 是一棵树。(G’) 的每个节点对应 (G) 的一个面（即一个循环）。根据引理 2，为这些循环创建成对兼容树。然后逐步构建 (G) 的成对兼容树 (T)：
- 初始时