数字滤波器设计与信号处理技术

65、设计一个低通滤波器，其规格如下：采样频率为2 Hz，通带上边缘频率为0.28 Hz，阻带低边缘频率为0.32 Hz，通带最大波纹为0.1 dB，阻带最小衰减为30 dB。

首先将相关参数转换为所需形式，如：

• atmax = 0.1 （通带最大波纹）
• atmin = 30 （阻带最小衰减）
• Wp = 0.28 * 2 * pi （通带上边缘频率，单位rad）
• Ws = 0.32 * 2 * pi （阻带低边缘频率，单位rad）

然后进行Butterworth模拟滤波器设计，计算阶数N：

N = ceil(log10((10^(0.1*atmin)-1)/(10^(0.1*atmax)-1))/Wnorm)

其中：

Wnorm = 2*log10(Ws/Wp)
Whp = Wp/((10^(.1*atmax)-1)^(1/(2*N)))
Omega = Whp

接着使用 buttap(N) 得到零点、极点和增益 [zc, pc, kc] 。最后进行频率变换：

pc = pc * Omega

不过，由于采样频率为2 Hz，在实际设计中可能还需要考虑数字滤波器设计的相关转换，可使用双线性变换等方法将模拟滤波器转换为数字滤波器。

66、设计一个低通滤波器，其规格如下：采样频率2Hz，通带上边缘0.28Hz，阻带 下边缘0.32Hz，通带最大波纹0.1dB，阻带最小衰减30dB。a. 找出满足这些规格的巴特沃斯、切比雪夫I型和II型以及椭圆滤波器的阶数。b. 为什么在相同的要求规格下，椭圆滤波器的阶数总是最低的？

a. 一般可使用以下MATLAB公式计算：

• 巴特沃斯 ：
  matlab N = ceil(log10((10^(0.1*atmin)-1)/(10^(0.1*atmax)-1))/(2*log10(Ws/Wp)));

• 切比雪夫I型和II型、椭圆滤波器 ：
  可使用MATLAB函数 cheb1ord 、 cheb2ord 、 ellipord 计算。

b. 椭圆滤波器在通带和阻带都允许有波纹，它能以最少的阶数在给定频率范围内实现规定的衰减和波纹要求，因此在相同规格下，其阶数通常是最低的。

67、使用MATLAB函数boxcar、bartlett、hanning、hamming、blackman和kaiser绘制矩形、三角、汉宁、汉明、布莱克曼和凯泽窗。计算并绘制它们的频谱幅度。强调这些频谱的旁瓣电平与带宽。总结这些窗函数对有限长单位冲激响应（FIR）滤波器设计的影响。

不同窗函数在FIR滤波器设计中的影响

在FIR滤波器设计中，不同窗函数会对滤波器的性能产生不同影响：

• 矩形窗 ：
• 主瓣最窄
• 频谱分辨率最佳
• 但旁瓣最高

• 动态分辨率最差

• 其他窗函数 （如汉宁窗、汉明窗、布莱克曼窗和凯泽窗）：

• 可改善动态分辨率
• 但会降低频谱分辨率

在设计FIR滤波器时，需要在以下因素之间进行权衡：

• 旁瓣电平
• 主瓣宽度
• 旁瓣衰减率

68、使用最小二乘法（LS 方法）计算一个 25 阶导数滤波器的系数，采样频率 fs = 20 kHz。绘制其传递函数、脉冲响应和零点。设想该滤波器的一个可能应用。

需按以下步骤求解：

1. 首先根据最小二乘法原理和 25 阶导数滤波器、采样频率 $ f_s = 20 \, \text{kHz} $ 的条件计算滤波器系数；
2. 然后使用相关工具（如 MATLAB）绘制传递函数、脉冲响应和零点；

可能的应用例如在信号处理中检测信号的变化率，如在音频处理中检测声音信号的突变等。

69、使用频率采样法设计一个120阶的FIR高通滤波器。考虑截止频率fc = 6 kHz，采样频率fs = 20 kHz。绘制滤波器的传递函数。将其阶数与具有类似传递函数的IIR滤波器的阶数进行比较。

设计该滤波器需按频率采样法步骤确定离散频率点的期望频率响应，再用 IDFT 得到滤波器系数。绘制传递函数可借助 MATLAB 的 freqz 函数。

通常，达到相同滤波效果时，IIR 滤波器阶数低于 FIR 滤波器，因为 IIR 滤波器存在反馈环节，可利用极点实现更陡峭的过渡带。

70、a. 生成以下三种信号，每个信号包含1024个样本： - 两个归一化频率分别为0.075和0.175的正弦波之和； - 长度为50点的脉冲信号； - 由方差为1的零均值白