19、图论中的兼容性与绘制问题研究

图论中的兼容性与绘制问题研究

在图论领域，图的兼容性和绘制问题一直是研究的热点。本文将围绕两个重要的图论问题展开探讨，分别是成对兼容性图（PCG）以及平面 3 - 树的通用线集绘制问题。

成对兼容性图（PCG）相关研究

成对兼容性图的研究主要聚焦于当成对兼容性约束放松时产生的两个特定子类，即 LPG 和 mLPG。这两个子类分别对应于最小距离 (d_{min} = 0) 和最大距离 (d_{max} = +∞) 的情况。

• PCG、LPG 和 mLPG 的关系
  • 研究发现，LPG 和 mLPG 的并集并不等同于整个 PCG 类。
  • 它们的交集不为空。
  • 并且，LPG 和 mLPG 这两个类都不包含在对方之中。
• 分裂母源图与 PCG 的关系
  • 所考虑的图是更一般的分裂母源图的特殊情况。研究尝试确定分裂母源图类是否属于 PCG 类，已经证明了许多分裂母源图是 PCG，但有一个特定的分裂母源图是否属于 PCG 类仍是一个开放问题。
  • 对于分裂母源图 (H = G_1 ◦… ◦G_t)，若对于任何分裂反匹配图 (G_i) 和任何分裂匹配图 (G_j) 都有 (i < j)，那么 (H) 是否为 PCG 这一问题也尚未解决。如果这个问题有肯定答案，那么证明所有分裂母源图都是 PCG 应该并不困难；否则，就可以明确区分哪些分裂母源图是 PCG，哪些不是。