16、往返 1 - 中心与 1 - 中位数问题及无三角形外平面图的成对兼容性研究

往返 1 - 中心与 1 - 中位数问题及无三角形外平面图的成对兼容性研究

1. 往返 1 - 中心与 1 - 中位数问题

在图论中，当给定图 (G) 的距离矩阵时，往返 1 - 中心问题和往返 1 - 中位数问题是重要的研究内容。Tamir 和 Halman 曾使用完全枚举法解决离散往返 1 - 中心问题，该方法的时间复杂度为 (O(n\sum_{i}|A_{i}|))。

通过引理 4，在离散情况下，集合 (A_{s}) 可简化为集合 (\Delta_{s})。依据定理 3，这种简单算法的时间复杂度可降低至 (O(\sum_{i}|A_{i}| + n\sum_{i}\min{|A_{i}|, n}))。同样，离散往返 1 - 中位数问题也可通过完全枚举法在相同时间复杂度内解决。

这两种完全枚举算法以及相关 1 - 中位数算法的瓶颈在于所有对的最佳仓库问题。

以下是相关信息的表格总结：
|问题|原解决方法时间复杂度|优化后时间复杂度|瓶颈问题|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|离散往返 1 - 中心问题|(O(n\sum_{i}|A_{i}|))|(O(\sum_{i}|A_{i}| + n\sum_{i}\min{|A_{i}|, n}))|所有对的最佳仓库问题|
|离散往返 1 - 中位数问题|(O(n\sum_{i}|A_{i}|))|(O(\sum_{i}|A_{i}| + n\sum_{i}\min{|A_{i}|, n}))|所有对的最佳仓库问题|

mermaid 流程图展示解决离散往返 1 - 中心问题的流程：