20、磁盘布局上绘制聚类图：(k, p)-平面性与相关研究

磁盘布局上绘制聚类图：(k, p)-平面性与相关研究

1. 研究背景与问题提出

在实际应用中，算法生成的图绘制结果常需手动后处理以满足特定要求。处理大型图时，分组、移动顶点或单独处理顶点并控制整体绘制外观十分耗时。为解决这一问题，研究假设用户希望修改大型平面图 G 的绘制，为此提供该图的抽象形式，用户修改抽象图并给出初始图绘制的约束条件，算法再将抽象图的绘制传播到初始图以满足这些约束。

更正式地，研究基于图 G = (V, E) 的（扁平）聚类，即顶点集 V 的划分 V = {V1, …, Vk}。将 (G, V) 称为聚类图，由 Vi 诱导的图 Gi 称为聚类。聚类 Gi 的边集 Ei 为内部边，端点在不同聚类的边为外部边。磁盘布局 D = {d1, …, dk} 是平面上一组两两不相交的磁盘，且聚类 V 和磁盘 D 之间存在双射映射 μ(Vi) = di，记为 DC。聚类图 C = (G, V) 的 DC 框架绘制是指图 G 的平面绘制，其中每个聚类 Gi 绘制在其对应的磁盘 di 内。研究的核心问题是：给定聚类平面图 C = (G, V)、图 G 的嵌入 ψ 以及 C 的磁盘布局 DC，C 是否存在与 ψ 同胚的 DC 框架直线绘制？

2. 相关工作

• 聚类图与 c - 平面性 ：Feng 等人引入聚类图和 c - 平面性的概念。图 G 与顶点集的递归划分构成聚类图，若图 G 的嵌入满足每个聚类 c 绘制在连通区域 Rc 内、两个区域 Rc 和 Rd 相交当且仅当一个聚类包含另一个、每条边与区域边界最多相交一次，则该嵌入为 c - 平面的。他们证明了连通聚类图的 c - 平面嵌入可在 O(n²) 时间