15、往返 1 - 中心与 1 - 中位数问题的高效算法

往返 1 - 中心与 1 - 中位数问题的高效算法

在图论和优化领域，往返 1 - 中心和 1 - 中位数问题是重要的研究课题。本文将详细介绍解决这些问题的高效算法，包括算法的原理、步骤以及时间复杂度分析。

1. 受限往返 1 - 中心问题

受限往返 1 - 中心问题旨在找到一个最佳位置，使得从该位置到所有客户的往返服务距离的最大值最小。最初，此问题的求解时间复杂度为 $O(mn \lg n + m \sum_{i} |A_i|)$。为了优化算法效率，我们提出了一种改进算法。

1.1 改进算法的核心思想

改进算法的关键在于减少计算每个 $cost_i$ 函数的时间。通过 $O(mn + n^2 \lg n)$ 时间的预处理，将每个 $cost_i$ 的计算时间从 $O(|A_i|)$ 降低到 $O(1)$，从而使算法的总时间复杂度优化为 $O(mn \lg n)$。

具体来说，对于边 $e \in E$ 和客户 $i \in V$，我们希望在不计算所有类型 1 函数的下包络 $Z_i^1$ 的情况下计算 $Z_i$。给定 $Z_i(0)$ 和 $Z_i(l)$ 的值，我们可以在 $O(1)$ 时间内计算出函数 $Z_i$。其中，$\alpha_1$ 是在区间 $[0, l]$ 上斜率为 +1 且过点 $(0, Z_i^1(0))$ 的线性函数，$\alpha_2$ 是在区间 $[0, l]$ 上斜率为 -1 且过点 $(l, Z_i^1(l))$ 的线性函数。$Z_i$ 是 $\alpha_1$、$\alpha_2$、$\beta_1$ 和 $\beta_2$ 的下包络，即 $Z_i(x) = \min{\alpha_1(x), \alpha_2(