【BZOJ1580】【USACO2009Hol】杀手游戏计算几何

最新推荐文章于 2019-04-25 21:51:00 发布

ez_yww

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分类专栏：计算几何

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本文介绍了一个平面点运动问题的解决方案，通过将问题转化为求直线与圆的交点，利用数学公式推导出交点坐标，并通过时间排序确定点进入和离开圆的时刻，最终求得最多有多少个点同时位于指定半径的圆内。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

　　一个平面上有很多个点在运动。给你每个点的初始坐标和每个点的速度，求出最多有多少个点到 $0$ 号店的距离同时不超过 $r$ 。

　　 $n\leq 50000$

题解

　　我们先把 $0$ 号点平移到原点，并令它静止不动。这样每个其他的点的运动轨迹就可以看成一条直线，要求出最多有多少个点同时在圆内。然后就是求直线和圆的交点。然后把这些交点按照时间排序，第一次出现就是进入，第二次出现就是出去。直接扫一遍就可以了。

　　求直线的方程&交点~~很简单~~，就是解几个方程，大家可以自己计算。设直线的方程为 $ax+by+c=0$ ，圆的方程为 $x^2+y^2=r^2$ ，交点的横坐标为 $x$ ，结果为

(a 2 + b 2) x 2 + 2 a c x + c 2 - b 2 r 2 = 0

$(a^2+b^2)x^2+2acx+c^2-b^2r^2=0$
　　时间复杂度：

O(nlogn) $O(n\log n)$

　　好吧。。。我还是放上计算过程吧

a x + b y + c a (x - v x) + b (y - b y) + c a v x + b v y a b c = 0 = 0 = 0 = v y = - v x = y v x - x v y

$\begin{align} ax+by+c&=0\\ a(x-vx)+b(y-by)+c&=0\\ avx+bvy&=0\\ a&=vy\\ b&=-vx\\ c&=yvx-xvy\\ \end{align}$

{x 2 + y 2 = r 2 a x + b y = c

$\begin{cases} x^2+y^2=r^2\\ ax+by=c \end{cases}$

y x 2 + (c - a x b) 2 (a 2 + b 2) x 2 + 2 a c x + c 2 - b 2 r 2 = c - a x b = r 2 = 0

$\begin{align} y&=\frac{c-ax}{b}\\ x^2+{(\frac{c-ax}{b})}^2&=r^2\\ (a^2+b^2)x^2+2acx+c^2-b^2r^2&=0 \end{align}$

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<cmath>
#include<functional>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef pair<double,double> pdd;
typedef pair<double,int> pdi;
void sort(int &a,int &b)
{
    if(a>b)
        swap(a,b);
}
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    char str[100];
    sprintf(str,"%s.in",s);
    freopen(str,"r",stdin);
    sprintf(str,"%s.out",s);
    freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
struct point
{
    double x,y;
    point(double a=0,double b=0)
    {
        x=a;
        y=b;
    }
};
point operator -(point a,point b)
{
    return point(a.x-b.x,a.y-b.y);
}
double dist(point a)
{
    return sqrt(a.x*a.x+a.y*a.y);
}
pdi f[100010];
int m;
double r;
double eps=1e-9;
double bx,by,bvx,bvy;
int sign(double x)
{
    return x>0;
}
int tot=0;
void solve(int id)
{
    double a,b,c;
    double x,y,vx,vy;
    scanf("%lf%lf%lf%lf",&x,&y,&vx,&vy);
    x-=bx;
    y-=by;
    vx-=bvx;
    vy-=bvy;
    if(fabs(vx)<eps&&fabs(vy)<eps)
    {
        if(dist(point(x,y)-point())<r)
            tot++;
        return;
    }
    a=vy;
    b=-vx;
    //vy*x-vx*y+c=0
    c=vx*y-vy*x;
    point p1,p2;
    if(fabs(b)<=eps)
    {
        if(x>r)
            return;
        p1=p2=point(x,sqrt(r*r-x*x));
        p2.y=-p2.y;
        f[++m]=pdi((p1.y-y)/vy,id);
        f[++m]=pdi((p2.y-y)/vy,id);
        return;
    }
    double A=a*a+b*b,B=2*a*c,C=c*c-b*b*r*r;
    if(B*B-4*A*C<0)
        return;
    double x1=(-B-sqrt(B*B-4*A*C))/(2*A);
    double x2=(-B+sqrt(B*B-4*A*C))/(2*A);
    p1=point(x1,-(a*x1+c)/b);
    p2=point(x2,-(a*x2+c)/b);
    f[++m]=pdi((p1.x-x)/vx,id);
    f[++m]=pdi((p2.x-x)/vx,id);
}
int e[100010];
int main()
{
    open("bzoj1580");
    int n;
    scanf("%d%lf%lf%lf%lf%lf",&n,&r,&bx,&by,&bvx,&bvy);
    int i;
    for(i=1;i<=n;i++)
        solve(i);
    sort(f+1,f+m+1);
    int s=0,ans=0;
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        if(!e[f[i].second])
        {
            e[f[i].second]=1;
            s++;
            if(f[i].first>0)
                ans=max(ans,s);
        }
        else
        {
            if(f[i].first>0)
                ans=max(ans,s);
            s--;
        }
    }
    printf("%d\n",ans+tot);
    return 0;
}