13、信号处理与向量运算的深入解析

信号处理与向量运算的深入解析

1. 常系数差分方程的传递函数

1.1 传递函数的推导

对于常系数差分方程，形式如下：
[y(k)=\sum_{l = 0}^{m}b_{l}u(k - l)-\sum_{l = 1}^{n}a_{l}y(k - l)]
假设输入和输出都具有(u(k)=Ue^{j\Omega k})和(y(k)=Ye^{j\Omega k})的形式，将其代入差分方程，可得传递函数(H(z))的表达式：
[H(z)=\frac{Y}{U}=\frac{\sum_{l = 0}^{m}b_{l}z^{-l}}{1+\sum_{l = 1}^{n}a_{l}z^{-l}}]
其中(z = e^{j\Omega})，(\Omega)是归一化频率。

1.2 传递函数的性质

传递函数是两个多项式的比值，分子的零点称为传递函数的零点，分母的零点称为极点。若差分方程的系数为实数，根据代数基本定理，零点和极点要么是实数，要么是共轭复数对。传递函数能完全描述线性系统，其(z)变换可给出差分方程解的权重，极点的值决定了解的系统模式，这些模式是电路固有的，与输入函数的具体形式无关。

1.3 示例

对于差分方程(y(k)=u(k)+2y(k - 1)-3y(k - 2))，其传递函数为：
[H(z)=\frac{1}{1 - 2z^{-1}+3z^{-2}}=\frac{z^{2}}{z^{2}-2z + 3}]

2. 传递函数的应用

2.1 积分算法精度估计

2.1.1 精确传递函数

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