54、数值动态规划的进展与新应用

数值动态规划的进展与新应用

1. 多维随机最优增长问题

在许多经济和金融场景中，多维随机最优增长问题是一个重要的研究领域。下面将详细介绍其动态规划模型、数值示例以及并行化结果。

1.1 动态规划模型

多维随机最优增长问题的动态规划公式为：
[
V_t(k, \theta) = \max_{c,l,I} u(c, l) + \beta E\left[V_{t + 1}(k^+, \theta^+) | \theta\right]
]
约束条件如下：
- (k^+ j = (1 - \delta)k_j + I_j + \epsilon_j)，(j = 1, \ldots, d)
- (\Gamma_j = \frac{\zeta}{2} k_j \left(\frac{I_j}{k_j} - \delta\right)^2)，(j = 1, \ldots, d)
- (\sum {j = 1}^{d} (c_j + I_j - \delta k_j) = \sum_{j = 1}^{d} (f(k_j, l_j, \theta_j) - \Gamma_j))
- (\theta^+ = g(\theta, \xi_t))

其中，(k = (k_1, \ldots, k_d)) 是连续状态向量，(\theta = (\theta_1, \ldots, \theta_d) \in \Omega = {(\vartheta_{j,1}, \ldots, \vartheta_{j,d}): 1 \leq j \leq D}) 是离散状态向量，(c = (c_1, \