38、大规模动态经济模型的数值方法

大规模动态经济模型的数值方法

在处理大规模动态经济模型时，常常会遇到维度灾难问题，即随着问题维度的增加，计算复杂度呈指数级增长。为了缓解这一问题，我们将探讨一些非乘积方法来表示、近似和插值函数。

1. 近似问题概述

考虑一个典型的近似问题，设 $f: R^d \to R$ 是一个光滑函数，$\tilde{f}(\cdot; b)$ 是一个参数化函数，形式如下：
$\tilde{f}(x; b) = \sum_{i=1}^{I} b_i \varphi_i(x)$ (19)
其中，$\varphi_i: R^d \to R$ 是基函数，$b \equiv (b_1, \ldots, b_I)$ 是参数向量。我们的目标是找到 $b$，使得 $\tilde{f}(\cdot; b)$ 在 $R^d$ 的给定区域内近似于 $f$。

为了实现这一目标，我们在 $R^d$ 的给定区域内构建一个包含 $M \geq I$ 个点的网格 ${x_1, \ldots, x_M}$，并计算残差 $\varepsilon \equiv {\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_M}$，残差定义为真实函数 $f$ 与其近似函数 $\tilde{f}(\cdot; b)$ 之间的差值：
$\begin{bmatrix}
\varepsilon_1 \
\vdots \
\varepsilon_M
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
f(x_1) \
\vdots \
f(x_M)
\end{bmatrix} -
\begi