4、线性分类模型的全面解析

线性分类模型的全面解析

在机器学习领域，分类问题是一个核心研究方向。线性分类模型作为其中的重要组成部分，具有简单且易于理解的特点。下面将深入探讨线性分类模型的相关内容。

1. 线性分类模型概述

分类的目标是将输入向量 $x$ 分配到 $K$ 个离散类别 $C_k$ 中的一个。在常见情况下，这些类别是不相交的，每个输入仅属于一个类别。输入空间会被划分为决策区域，其边界被称为决策边界或决策表面。线性分类模型的决策表面是输入向量 $x$ 的线性函数，由 $(D - 1)$ 维超平面定义。如果数据集的类别可以通过线性决策表面完全分离，则称该数据集是线性可分的。

对于分类问题，目标变量 $t$ 有多种表示类别标签的方式。在概率模型中，对于两类问题，常用二进制表示，即 $t \in {0, 1}$，其中 $t = 1$ 表示类别 $C_1$，$t = 0$ 表示类别 $C_2$。对于 $K > 2$ 类问题，通常使用 $1 - of - K$ 编码方案，$t$ 是长度为 $K$ 的向量，若类别为 $C_j$，则 $t$ 的所有元素 $t_k$ 为零，除了元素 $t_j$ 为 1。

在解决分类问题时，有三种不同的方法：
- 构建判别函数，直接将每个向量 $x$ 分配到特定类别。
- 对条件概率分布 $p(C_k|x)$ 进行建模，然后使用该分布进行最优决策。
- 采用生成方法，对类条件密度 $p(x|C_k)$ 和类先验概率 $p(C_k)$ 进行建模，再使用贝叶斯定理计算后验概率 $p(C_k|x)$。

线性回归模型的预测 $y(x, w)$ 是参数 $w$ 的线性函数。对于分类问题，我们希望预测离散的类别标签或后验