47、线性代数与线性规划知识解析

线性代数与线性规划知识解析

1. 子空间几何

在向量空间中，子空间的几何性质是一个重要的研究领域。设 $S$ 和 $T$ 是 $C^n$ 中具有相同维度 $m$ 的两个子空间，分别选取它们的标准正交基 ${u_1, \ldots, u_m}$ 和 ${v_1, \ldots, v_m}$，并构造矩阵 $B = (u_1 \cdots u_m) \in C^{n×m}$ 和 $C = (v_1 \cdots v_m) \in C^{n×m}$。这两个子空间的投影矩阵分别为 $P_S = BB^H$ 和 $P_T = CC^H$，且这些埃尔米特矩阵不依赖于子空间标准正交基的具体选择。

• 定理 B.48 ：矩阵 $B^HC$ 的奇异值 $\gamma_1, \ldots, \gamma_m$ 不依赖于子空间 $S$ 和 $T$ 中标准正交基的选择。由于 $B$ 和 $C$ 的列向量是标准正交的，即 $B^HB = I_m$ 和 $C^HC = I_m$，所以 $|B|_2 \leq 1$ 且 $|C|_2 \leq 1$，进而可得 $|B^HC|_2 \leq |B^H|_2|C|_2 \leq 1$，因此 $\gamma_i \in [0, 1]$。
• 定义 B.13 ：设 $S$ 和 $T$ 是 $C^n$ 中维度为 $m$ 的子空间，矩阵 $B^HC$ 的奇异值为 $\gamma_1, \ldots, \gamma_m$，则 $S$ 和 $T$ 之间的夹角 $\theta_1, \ldots, \theta_m \in [0, \frac{\pi}{2}]$，其中 $\cos\theta_i