7、聚类理论中的度量与超度量空间几何

聚类理论中的度量与超度量空间几何

在聚类分析中，度量和空间几何的概念起着至关重要的作用。本文将深入探讨聚类理论中的度量性质以及超度量空间的几何特征，通过介绍相关的定理、不等式和示例，帮助读者更好地理解这些概念在聚类分析中的应用。

1. 雅卡尔不相似度与相似度计算

雅卡尔不相似度（Jaccard dissimilarity）是一种常用的度量方法，它满足三角不等式，因此是幂集 (P(S)) 上的一种度量。以下是雅卡尔相似度的计算函数示例：

jaccard <- function(u,v) {
  if (length(u) != length(v)){
    print("Vectors must have equal sizes!")
  }
  int <- pmin(u,v)
  uni <- pmax(u,v)
  return(round(sum(int)/sum(uni),2))
}

该函数通过比较两个向量的交集和并集来计算雅卡尔相似度，结果保留两位小数。

2. (R^n) 空间中的范数与度量

在 (R^n) 空间中，范数和度量的研究依赖于一系列重要的不等式。

2.1 引理与不等式

• 引理 3.1 ：设 (p, q \in R - {0, 1}) 且 (\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1)，则 (p > 1) 当且仅当 (q > 1)；并且 (p, q) 中一个属于区间 ((0, 1)) 当且