6、聚类中的相异度、度量与超度量

聚类中的相异度、度量与超度量

1. 引言

聚类的目标是将相似的对象归为一组，同时确保不相似的对象分属不同的组。相异度是评估对象之间差异程度的数学工具。本文将介绍相异度空间和相似度的概念，详细讨论满足特定性质的特殊相异度，如度量和超度量，还会探讨集合之间的相似度和相异度及其特殊性质，同时介绍n维空间中的重要度量和范数，尤其关注超度量空间及其与层次聚类的关系。

2. 相异度空间

2.1 相异度的定义

相异度是定义在集合 $S$ 上的函数 $d : S × S \to \mathbb{R}_{\geq 0}$，满足 $d(x, x) = 0$ 且 $d(x, y) = d(y, x)$ 对于任意 $x, y \in S$。若 $d(x, y) = 0$ 意味着 $x = y$，则称 $d$ 为确定相异度。相异度的集合记为 $DS$，确定相异度的集合记为 $DDS$。$(S, d)$ 构成相异度空间。若 $d$ 和 $d’$ 是 $S$ 上的相异度，当 $d(x, y) \leq d’(x, y)$ 对于任意 $x, y \in S$ 时，记为 $d \leq d’$。

2.2 扩展相异度

扩展相异度的定义与相异度类似，只是取值范围为 $\mathbb{R} {\geq 0} \cup {\infty}$。若后续定义的各类相异度取值范围是 $\mathbb{R} {\geq 0} \cup {\infty}$，则会加上“扩展”这一属性。

2.3 相异度空间的表示

有限相异度空间 $(S, d)$（其中 $S = {x_1, \ldots, x_n}$）