28、最大边着色问题与单源最短路径算法的改进研究

最大边着色问题与单源最短路径算法的改进研究

在图论领域，最大边着色问题（MEC）和单源最短路径问题（SSSP）一直是重要的研究方向。本文将介绍针对这两个问题的一些改进算法和相关研究成果。

最大边着色问题（MEC）

最大边着色问题旨在为图的边分配颜色，使得相邻边具有不同颜色，同时最大化某种权重指标。

树上的MEC问题

对于树上的MEC问题，通过定义 $x_i = \frac{1}{i \cdot (H_p + 1)}$（其中 $1 \leq i \leq p$），经过一系列推导得到 $\frac{W}{OPT} \leq \frac{H_p + 1}{H_p} = 1 + \frac{1}{H_p}$。算法 Scheme(p) 迭代 $|E|$ 次，每次迭代中：
1. 对于 $T[E_{1,j}]$，若存在，通过命题 1 在 $O(|E|^{p - 1} \cdot |E| \cdot \Delta^{3.5})$ 时间内找到最多 $p - 1$ 个匹配的最优解。
2. 对 $T[E_{j + 1,m}]$ 调用复杂度为 $O(|V| \cdot \Delta \cdot \log \Delta)$ 的算法 Trees。

选择 $p$ 使得 $\epsilon = \frac{1}{H_p}$，可得 $p = O(2^{\frac{1}{\epsilon}})$，从而得到树上MEC问题的多项式时间近似方案（PTAS），其近似比为 $1 + \frac{1}{H_p} = 1 + \epsilon$，时间复杂度为 $O(|E|(|V| \cdot \Delta \cdot \log \Delta + |E|^p \cdo